Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4 Equações lineares de segunda ordemdydt = e−y . Desta maneiraSubstituindo em (4.17) obtemosẋ = dxdt = dx dy dx= e−ydy dt dyẍ = d2 xdt = d ( )−y dxe = d (e 2 dt dy dy()= e −y d2 x dx dy− e−ydy2 dy dt( d= e −2y 2 xdy − dx ).2 dy( da 2 e 2y e −2y 2 xdy − dx )+ a 2 1 e y edy−y dx) dydy dt−y dxdy + a 0x = 0que é equivalente a uma equação linear homogênea com coeficientes constantesA equação característica de (4.18) éd 2 xa 2dy + (a 2 1 − a 2 ) dxdy + a 2x = 0 (4.18)a 2 k 2 + (a 1 − a 2 )k + a 0 = 0.Deste modo se k 1 é raiz desta equação, x 1 (y) = e k 1y é solução de (4.18), o queimplica queGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPx(t) = e k 1 ln t = t k 1é solução de nossa equação original (4.17).Observação. Na pratica as vezes é conveniente buscar diretamente soluçõesde (4.17) da forma x(t) = t k 1.Exemplo 1. Resolver a equação diferencialt 2 ẍ + 5 tẋ − x = 0.2102