Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

3.3 Equações em variáveis separadaspodem ser resolvidas facilmente. Podemos considerar a condição inicialSe ϕ é solução de (3.7) obtemosou sejaondex(t 0 ) = x 0 .˙ϕ(t) = g(t)h(ϕ(t))g(t) = ˙ψ(ϕ(t)) ˙ϕ(t) =ψ(x) =∫ xx 0dτh(τ) .Integrando ambos os lados entre t 0 e t resultaϑ(t) =∫ tt 0g(s)ds = ψ(ϕ(t))˙ (ψ ◦ ϕ)(t) (3.8)e dai no intervalo I contendo t 0 tal que t ∈ I implica b 1 < g(s)ds < b 2 , at 0solução éϕ(t) = ψ −1 (ϑ(t)) (3.9)A função ψ −1 existe pelo teorema da função inversa, pois ψ ′ (x) = 1h(x) ≠ 0.O leitor deve verificar que (3.9) é a única solução.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPObserve que a solução obtida é dada implicitamente, para constantes deintegração apropriadas, pela relaçãoentre as integrais indefinidas.∫∫g(t)dt =dxh(x)Observação: Se g(x) = 1 na equação (3.7) temos a equação diferencial devariáveis separáveis mais simple.teorema de existência e unicidade de solução.A solução geral é dada no exercício 1 do∫ t59