Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

1.1 Teoria preliminarSubstituindo a derivada na equação diferencial temosx + √ ( ) −x25 − x 2 √ = 0.25 − x2Fica para o leitor verificar que a derivada de y ′ 2 também satisfaz a EDO.Pergunta. Que acontece com a relação x 2 + y 2 + 25 = 0?Derivando implicitamente temosx + y dydx = 0(Identidade formal).Isto é a solução satisfaz formalmente a EDO mas não é uma solução implícita.Exemplo 2. y 2 −x 3 +8 = 0 é solução implícita de dydx − 3x2 = 0 em I = (2, ∞).2yDa fato, da relação y 2 − x 3 + 8 = 0 temos que y = ± √ x 3 − 8 para x > 2.A função y 1 = √ x 3 − 8 tem por derivada y 1 ′ 3x 2=2 √ x 3 − 8 = 3x22y .Conseqüentemente a relação y 2 − x 3 + 8 = 0 define uma solução implícitada EDO para todo x > 2.Observação: A relação g(x, y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO, emum intervalo I se define uma ou mais soluções explícitas em I da EDO.Exemplo 3. A relação x+ye xy = 0 é uma solução implícitade (1+xy) e1 + y 2 e xy = 0.xydydx +De fato, primeiro observe que não podemos ter y = f(x) da relaçãoimplícita.Observe que para que se cumpra a relação implícita, qualquer mudançaGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPem x requer uma mudança em y. Conseqüentemente esperamos que a relaçãodada defina implícita ao menos uma função e que seja diferenciável (Teoremada função implicita).Denotemos por g(x, y) = x + ye xy . O ponto P = (0, 0) anula a relaçãoacima, isto é g(P ) = 0. Além disso dgdy (P ) = exy + yxe xy | P = 1 ≠ 0. Logopelo Teorema da função implícita, existem intervalos I = (−δ, δ) (δ > 0),J = (−ε, ε) (ε > 0) e função y : I → J diferenciável talque g(x, y(x)) = 0.Além disso dgdx + dg dydy dx = 0, isto é, 1 + y2 e xy xydy+ (1 + xy) edx = 0.9