Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

2 Equações lineares de primeira ordembaixas velocidades, a dependência é predominantemente linear, ao passo quea altas velocidades, devido a turbulência do ar próxima à superfície do objeto,a resistência se torna predominantemente quadrática.No caso de resitência linear, temos simplesmente a equaçãom d2 hdh= −mg − kdt 2dt ,onde k é um coeficiente de resistência apropriado, considerado positivo. Noteo sinal de menos em frente ao coeficiente de resistência. A força de resistênciaé contrária ao movimento.2.1.2 Crescimento populacionalUm caso simples é o crescimento de uma colônia de bactérias. As bactériasse reproduzem por divisão celular, com cada bactéria dando origem a duas.Em condições favoráveis, a população de bactérias se reproduz a uma taxaproporcional ao numero total de bactérias: em um dado intervalo de tempo∆t, a população de bactérias cresce de um número ∆x proporcional ao total xde bactérias e proporcional ao intervalo de tempo ∆t (quanto mais bactériase quanto maior o intervalo de tempo, maior o crescimento). Denotando porµ > 0 a constante de proporcionalidade, temos∆x = µx∆t.Dividindo essa relação por ∆t e tomando o limite quando ∆t → 0, obtemos aequação diferencialO termo µ, dado porGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPdxdt = µx.µ =dxdtx ,é chamado de taxa de crescimento específico.Com µ constante, as soluções são da forma x(t) = Ce µt e a populaçãocresce exponencialmente.O tempo de geração de uma bactéria é o temponecessário para a população dobrar de tamanho. Em condições apropriadasem laboratório (meio de cultura, temperatura, PH, etc.) o tempo de geração de18