EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias (notas de aula) - Unesp

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3 Equações não-lineares de primeira ordem(ii) existe uma constante L tal que para todo (t, x), (t, y) ∈ Ω|f(t, x) − f(t, y)| L|x − y|.Exemplo 1. Sejam I, J ⊂ R intervalos da reta. Se f : Ω = I × J → R écontínua e admite ∂f(t, x), com sup ∣ ∂f∂x (t,x)∈Ω ∂x (t, x)∣ ∣ K então f é Lipschitziana.De fato, pela Desigualdade do valor médio temos|f(t, x) − f(t, y)| sup0
3.2 Teorema de existência e unicidade2. Ω = R 2 , f(t, x) = 3x 2/3 . Para todo c ∈ R a função ϕ c : R → R definidaporϕ c (t) ={(t − c) 3 , t c0, t cé uma solução da equação ẋ = 3x 2/3 em I = R como se vê por verificaçãoimediata.Mas a função ϕ ≡ 0 também é solução desta equação.Estes exemplos ilustram o fato de que as equações diferenciais de primeiraordem não-linear possuem em geral uma infinidade de soluções.Porém noexemplo 1, em cada ponto de Ω passa uma única solução, isto é dado (t 0 , x 0 ) ∈Ω existe uma única solução ϕ tal que ϕ(t 0 ) = x 0 .O mesmo não acontece no exemplo 2; neste caso em cada ponto da forma(t 0 , 0) passa uma infinidade de soluções.Teorema 3.2.1 (Existência e unicidade de solução) Sejam Ω = I a × B be f : Ω ⊂ R × R → R função contínua e localmente Lipschitziana na segundavariável em Ω, onde I a = {t ∈ R : |t − t 0 | a} e B b = {x ∈ R : |x − x 0 | b}.Se |f| M em Ω, então existe uma única solução deem I α , onde α = min{a, b/M}.⎧⎨ ẋ = f(t, x)⎩x(t 0 ) = x 0(PVI-NL)German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPO significado geométrico deste teorema é que existe só uma única funçãox = x(t) cujo gráfico passa pelo ponto (t 0 , x 0 ).Observações:(i) Devemos estar cientes da distinção entre a existência de uma solução epoder exibir tal solução. Evidentemente, se encontramos uma soluçãoexibindo-a, podemos dizer que ela existe, por outro lado, uma soluçãopode existir e não ser possível expressá-la.diferencialPor exemplo a equaçãodxdt = t2 + x 2 (3.3)55
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