Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4.1 Teoria básica da equação homogênea(6) Equação do tipoF (t, x, ẋ, ẍ) = 0onde F é uma função homogênea respeito a segunda, terceira e quartavariável, isto é, para todo λ ∈ R existe n ∈ R tal que para todo (t, x, y, z)tem-seF (t, λx, λy, λz) = λ n F (t, x, y, z).Introduzimos uma nova variável z mediante a expressãox = e ∫ zdt .Derivando ambos lados com respeito de t duas vezes, obtemosẋ = ze ∫ zdte ao substituir em nossa equação temoseẍ = (z 2 + ż)e ∫ zdt0 = F (t, x, ẋ, ẍ) = F (t, e ∫ zdt , ze ∫ zdt , (z 2 + ż)e ∫ zdt )= e n ∫ zdt F (t, 1, z, z 2 + ż).Então F (t, 1, z, z 2 + ż) = 0 que é uma equação diferencial da formaf(t, z, ż) = 0 a qual é de primeira ordem.Exemplo. Resolver a seguinte equação diferencialxẍ − (ẋ) 2 = 6tx 2 .Aqui F (t, x, ẋ, ẍ) = xẍ − (ẋ) 2 − 6tx 2 que é homogênea de grau n =2 na segunda, terceira e quarta variável. Pondo z = e ∫ zdt a equaçãotransforma-see 2 ∫ zdt (z 2 + ż − z 2 − 6t) = 0que é equivalente a ż = 6t. A solução desta última equação é z = 3t 2 +c 1o que implica que x = e ∫ (3t 2 +c 1 )dt e portanto x = e t3 +c 1 t+c 2.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP97