Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5 Sistemas lineares bidimensionaisqueϕ(t) = e λt [(c 1 + tc 2 )v 1 + c 2 v 2 ]é a solução de (5.3) por ϕ(0) = c 1 v 1 + c 2 v 2 .As órbitas que passam por E 1 (c 2 = 0), exceto a origem que é ponto fixo,são semiretas. Para outra órbitas, (c 2 ≠ 0) a sua reta tangente tende a E 1 ,quando t → ±∞, poisc 2 e λt(c 1 + tc 2 )e = 1λt c 1+ t → 0.c 2Se λ < 0 (respectivamente, λ > 0), toda trajetória tende a 0, quandot → +∞ (respectivamente, −∞).Caso (c).Da observação da seção anterior segue que toda solução de (5.3) pode serescrita na forma ϕ(t) = c 1 ϕ 1 (t) + c 2 ϕ 2 (t), ondeϕ 1 (t) = e αt [cos βtv 1 − sen βtv 2 ] ϕ 1 (t) = e αt [sen βtv 1 + cos βtv 2 ] .Fazendo, c 1 = ρ cos w, c 2 = ρ sen w. Temosϕ(t) = e αt ρ [(cos w cos βt + sen w sen βt)v 1 + (sen w cos βt − cos w sen βt)v 2 ]= e αt ρ [cos(w − βt)v 1 + sen(w − βt)v 2 ] .Caso (c 1 ). α = 0, centroGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPTodas as oluções, exceto a solução nula são elipses.Caso (c 2 ). α < 0, foco atratorToda solução tende para origem espiralando en torno da origem quandot → +∞. Isto é, |ϕ(t)| → 0 e w − βt, ângulo entre ϕ(t) e E 1 , tende para +∞ou −∞, segundo β seja negativo ou positivo.Caso (c 3 ). α > 0, foco instávelToda solução tende para 0 espiralando em torno da origem, quando t →−∞.132