Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5 Sistemas lineares bidimensionaisautovetor associado da matriz A.Para que a equação (5.9) tenha solução v ≠ 0, a matriz A − λI não podeser invertível. Logo, devemos terdet(A − λI) = 0. (5.10)Observamos que a expressão det(A − λI) é um polinômio de grau 2 (n) emλ (se A é de ordem n × n), chamado polinômio caracteístico de A. Assim,a equação det(A − λI) = 0, possui 2 (n) raízes λ 1 , λ 2 (λ 1 , · · · , λ n ) que podemser reais ou complexas e algumas podem ter multiplicidade maior do que um.Como em nosso caso A é uma matriz 2 × 2 o polinômio característico de Aé dado porDistinguimos os seguintes casos:λ 2 − (a + d)λ + (ad − cb) = 0.(a) Os valores próprios λ 1 , λ 2 de A são reais e distintos, isto R ∋ λ 1 , λ 2 eλ 1 ≠ λ 2 .(b) Os valores próprios reais e iguais, isto R ∋ λ 1 , λ 2 e λ 1 = λ 2 .(c) Os valores próprios são complexos conjugados, isto C ∋ λ 1 , λ 2 e λ 1 =Caso (a).α + iβ, λ 2 = ¯λ 1 = α − iβ com β ≠ 0.Sejam v 1 , v 2 vetores próprios correspondentes aos valores próprios λ 1 , λ 2 .Denotemos por E 1 , E 2 as linha geradas por estes vetores. A proposição 5.2.5garante que toda solução de (5.3) (isto é, a trajetória de A) pode ser escritana formaGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPCaso (a 1 ). λ 2 < λ 1 < 0, nó atratorϕ(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2 .Toda trajetória tende a 0, quando t → +∞, exceto a origem que permanecefixa, toda trajetória tende a ∞, quando t → −∞. Se c 1 ≠ 0, a reta tangenteà trajetória tende à linha E 1 , quando t → +∞.De fato, se t → +∞, c 2e λ 2tc 1 e λ 1t = c 2c 1e (λ 2−λ 1 )t → 0, pois λ 2 − λ 1 < 0. Se c 1 = 0,as soluções são semiretas de E 2 .130