Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

3.1 Interpretação geométricaMais geralmente, dada uma equação diferencial de primeira ordema segunda derivada é dada porẋ = f(t, x),ẍ = ∂f ∂f(t, x) + (t, x)dx∂t ∂x dt = ∂f ∂f(t, x) + (t, x)f(t, x).∂t ∂xAssim, as regiões de concavidade das soluções no plano tx são dadas pelo sinalde ∂f ∂f(t, x) + (t, x)f(t, x) e, portanto, delimitadas em geral, pela curva de∂t ∂xnível zero dessa função∂f ∂f(t, x) + (t, x)f(t, x) = 0.∂t ∂xEssas curvas de nivel zero são os pontos de inflexão das soluções.Pode acontecer, no entanto, de f(t, x) não estar definida em todo o plano,de modo que a concavidade pode ser separada pela região de indefinição dafunção.Exemplo. Considere a equaçãodydx = y x .As isóclinas são as retas y = mx que, por coindidência, também têm inclinaçãom. Assim, é fácil deduzir que as próprias isóclinas são as soluções da equação,o que pode ser diretamente verificado:German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPdydx = ddx (mx) = m = y x .Para a equação (3.2) vale o seguinte teorema sobre existência e unicidadede solução de uma equação diferencial. Antes de enunciar o teorema vamosver algumas definições.Definição 3.1.1 (Função Lipschitziana) Seja f : Ω ⊂ R × R → R umafunção. Dizemos que f é Lipschitziana na segunda variável x em Ω se(i) f é contínua em Ω e53