TEORIJA GRAVITACIJE

ne ujema z vektorskim poljem, ki je po gornjem naravnem predpisu prirejeno baznim1-formam dx i .Pokažimo kako v okviru takega dogovora izražamo komponente vektorskega poljaf, ki ustreza 1-formi f (1) = f i dx i ! Zaradi linearnosti in obratne enoličnosti preslikavemed vektorji in 1-formami (J.74) se lahko naloge lotimo po korakih. Najprej poiščemo1-forme e k , ki po J.74 ustrezajo baznim vektorskim poljem e k . Kot vse 1-forme jihlahko zapišemo kot linearne kombinacije baznih 1-form: e k = e k i dxi . Vemo, da jebazni vektor e k tangenta na krivuljo C k vzdolž katere narašča samo k-ta koordinatain da krivulja C k maksimizira izraz T e k. Torej:⎛X 1 ⎞0X 2 0.e k je tangenta na krivuljoX0 k ⎜+ σ(J.75)⎟⎝ . ⎠Pri tem so X0 1, X2 0 , . . .Xn 0 koordinate točke ℘, v kateri želimo konstruirati baznivektor e k (℘). V splošnih koordinatah, kjer se ločni element zapiše v obliki:se T e k izraža takole:ds 2 = g ik dx i [C]dx k [C] , (J.76)T e k(℘) = ek idx i [C]ds=X n 0e k i ˙ξ i√g lm ˙ξl ˙ξm(J.77)Poiskati moramo take komponente e k i , da bo krivulja J.75 ekstremalna za T e v kzgoraj opisanem smislu. Ker je izpolnitev ekstremalnega pogoja tu odvisna le odsmeri hitrosti (tako kot pri J.70) in ne od njene velikosti, smemo komponente ˙ξ kvezati še z dodatnim pogojem. Izberemo: g ik ˙ξi ˙ξk = 1. Ekstrem izraza:S = e k i ˙ξ i − 1 2 λg ij ˙ξ i ˙ξj(J.78)iščemo z Lagranževo metodo pri pogoju:g ij ˙ξi ˙ξj = 1(J.79)Ekstrem je dosežen, kadar so odvodi S po vseh komponentah hitrosti enaki 0, to je:∂S∂ ˙ ξ l = e k l − λg lm ˙ξ m = 0 (J.80)101