TEORIJA GRAVITACIJE

Po tem kar smo povedali zgoraj, pričakujemo samo za h 00 od nič različen izvor vmirovalnem sistemu mase. V tem sistemu so tudi vsa polja neodvisna od časa, zatose enačba (F.17) za h 00 poenostavi v obliko:( )≠ 0 pri r = 0∇ 2 h 00 = κT 00 =(F.20)= 0 povsod drugjexReševanje takih enačb je stvar matematične fizike; rešitev pa je:h 00 = C rza r = √ x 2 + y 2 + z 2 (F.21)Konstanto C določimo s pomočjo Gaussovega izreka, ki pravi, da je integral divergencevektorskega polja po prostornini enak integralu tega vektorskega polja popovršini, ki to prostornino objema. Če integriramo (F.20) po vsej prostornini, dobimo:∫∫∇ 2 h 00 dV =M mirκT 00 dV = κℵ 00 = κMc 2M mir(F.22)Po Gaussovem izreku je:∫∮∇ 2 h 00 dV = ∇h 00 · d ⃗ CS = −∮M mirr 3⃗r · d⃗ S = −4πC (F.23)Ko primerjamo (F.22) in (F.23) dobimo:−4πC = κMc 2(F.24)Ker so izvori za ostale komponente tenzorja h µν enaki nič, izginejo po umeritvenemupogoju (F.16) tudi ustrezne komponente tenzorja h µν = 0 če µ ≠ ν ≠ 0.Naloga F.2: Pokaži, da rešitev (F.21) skupaj s h µν = 0 če {µν} ≠ {00} ustrezaumeritvenemu pogoju (F.16).Izračunajmo še komponente tenzorja h µν ! Enačbe (F.14) obrnemo in dobimo:h µν = h µν − 1 2 η µνh , (F.25)Naloga F.3: Pokaži, da je (F.25) obrat (F.14).Tako je h = η 00 h 00 = −h 00 inh 00 = h 00 − 1 2 η 00h = 1 2 h 00 = − κ Mc 28π r(F.26)39