Views
3 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Še ena pomembna

Še ena pomembna lastnost enačb (A.3) je ta, da jih lahko izpeljemo iz zelo preprostegaHamiltonovega principa, ki pravi: Če vem, da so ob času t 1 delci sistema vtočkah ⃗r i (t 1 ) = ⃗ R 1i in ob času t 2 v točkah ⃗r i (t 2 ) = ⃗ R 2i , potem se v vmesnem času t(t 1 < t < t 2 ) gibljejo po tisti od vseh možnih poti ⃗r i (t), za katero zavzame akcijaS najmanjšo vrednost, pri čemer je akcija:S[⃗r i ] =∫ t2t 1L(⃗r i , ⃗r, ˙ i t)dt . (A.4)Pri tem smatramo akcijo kot funkcional funkcij ⃗r i (t). To je, akcija je številka katerevrednost je odvisna od tega katere funkcije izberem za ⃗r i (t).Vrnimo se na sam samcati delec na katerega ne deluje nobena sila. Lagranževafunkcija za ta delec je preprosto:L = 1 2 m˙⃗r 2 = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 )(A.5)V oči pade zelo preprosto dejstvo; ker je Lagranževa funkcija enaka kinetični energijidelca, je konstantna vzdolž trajektorije, oziroma dL/dt = 0. Za take Lagranževefunkcije, ki so konstantne vzdolž poti delca, lahko pokažemo: Če je L Lagranževafunkcija, ki da prave enačbe gibanja, potem da L ′ = f(L) iste enačbe gibanja, pričemer je f(L) poljubna dvakrat zvezno odvedljiva funkcija L. Torej je L ′ popolnomaenakovreden L-u kot generator enačb gibanja.Naloga A.2: Dokaži to trditev.Če izberemo f(L) = ( 2 2, dobimo L ′m L)1zapišemo kot:S =∫ t2= √ ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 in akcijo lahkot 1√ẋ2+ ẏ 2 + ż 2 dt (A.6)Vidimo, da je S lahko tudi dolžina poti med točkama ⃗ R 1 in ⃗ R 2 . Hamiltonov princip,ki opisuje gibanje prostega delca med dvema točkama v prostoru lahko izrazimotudi z besedami: prosti delec opiše najkrajšo možno pot med dvema točkama. Taoblika zakona gibanja najbolj nazorno kaže povezavo med geometrijo in dinamiko:Dinamika prostih delcev opisuje najkrajše možne poti med dvema točkama. V Evklidskemprostoru so take poti (slučajno ?) deli premic.6

2 Galilejeve in Lorentzove transformacijeVideli smo, da Newtonov zakon dinamike pove, kako moramo v kartezičnih koordinatahzapisati razdaljo med dvema točkama v prostoru. Kaj pa simetrije prostorao katerih je bilo govora v uvodu? Simetrijske operacije so tiste operacije, ki ohranjajoneko lastnost. Npr. ena od pomembnih lastnosti evklidskega prostora je ta,da imajo vsi trikotniki v prostoru enako vsoto notranjih kotov to je π, ne glede nanjihovo orientacijo ali ploščino. Do tega aksioma smo prišli na osnovi mehanike, sajtrikotnike definira dinamika; konstruiramo jih tako, da z daljicami, to je s krivuljamipo katerih se gibljejo prosti delci, tri točke povežemo v lik. V kartezičnih koordinatahje simetrijo najlaže zapisati, saj se samo v teh koordinatah enačbe premiczapišejo tako, da so vse tri koordinate linearne funkcije nekega parametra npr. časa.Omenjena simetrija evklidskega prostora mora torej pomeniti, da se morajo enačbegibanja prostih delcev (ki povedo kako narišemo premice) zapisati enako ne glede nato, v kateri točki prostora izberemo začetek koordinatnega sistema ali v katere smerineba orientiramo njegove osi. Še več, v vseh koordinatnih sistemih, ki se med sebojrazlikujejo le po tem, da se med seboj enakomerno gibljejo, morajo imti enačbe zagibanje prostih delcev enako obliko, saj se enakomerno gibanje vidi tako v vseh koordinatnihsistemih, le hitrost gibanja je glede na različne inercialne sisteme različna.Vzemimo dva taka inercialna sistema S in S ′ . Naj bodo kartezične koordinate točke℘ v sistemu S {x, y, z}, v koordinatnem sistemu S ′ pa {x ′ , y ′ , z ′ }. Skupaj z GalileoGalilejijem smo pričakovali, da se enačbe gibanja zapišejo enako v S in S ′ , če sokoordinate točke ℘ v obeh sistemih povezane z Galileijevo transformacijo:⎛ ⎞ ⎛⎞x R 11 x ′ + R 12 y ′ + R 13 z ′ + v x t + x 0⎝y⎠ = ⎝R 21 x ′ + R 22 y ′ + R 23 z ′ + v y t + y 0⎠ (B.1)z R 31 x ′ + R 32 y ′ + R 33 z ′ + v z t + z 0Pri tem so R ik (konstantne) komponente ortogonalne matrike, ki zavrti koordinatnisistem in ima zato lastnost R ˜R = I - matrika R pomnožena s transponirano matriko( ˜R) da enotsko matriko (I).Če naj vidita opazovalca v sistemu S in v S ′ enake enačbe gibanja za prosti delec,morata biti Lagranževi funkciji za prosti delec v obeh sistemih enaki ali vsaj ekvivalentni.Vstavimo (B.1) v (A.5) in dobimo Lagranževo funkcijo (kinetično energijo vtem primeru) za delec v sistemu S izraženo s koordinatami v S ′ . Tako dobimo:L(ẋ ′ , ˙ y ′ , ˙ z ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) = 1 2 m(ẋ′2 + ˙ y ′2 + ˙ z ′2 ) ++m(v x R 11 ẋ ′ + v x R 12 ˙ y ′ + v x R 13 ˙ z ′ + · · · + v z R 33 ˙ z ′ ) + 1 2 m(v2 x + v2 y + v2 z )(B.2)7

Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Naša sredina, številka 3, leto 2
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Metoda podpornih vektorjev
Letnik XIII/15 - Ministrstvo za obrambo
Letno poročilo Varuha človekovih pravic za leto 2007 (PDF)
1. PDF dokument (3766 kB) - dLib.si
Številka 56 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Številka 19 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Letnik 19 • πtevilka 168 • 7/2011 • revijo izdaja Zavod ... - Šport mladih
Prenesi časopis - Tribuna
Neonikotinoidi Uvodnik ministra za kmetijstvo, gozdarstvo in ...
Krik - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
3. november 1960 (št. 554) - Dolenjski list
Diferentne jednadžbe - Teorija i primjene - PMF
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...