TEORIJA GRAVITACIJE

2 Galilejeve in Lorentzove transformacijeVideli smo, da Newtonov zakon dinamike pove, kako moramo v kartezičnih koordinatahzapisati razdaljo med dvema točkama v prostoru. Kaj pa simetrije prostorao katerih je bilo govora v uvodu? Simetrijske operacije so tiste operacije, ki ohranjajoneko lastnost. Npr. ena od pomembnih lastnosti evklidskega prostora je ta,da imajo vsi trikotniki v prostoru enako vsoto notranjih kotov to je π, ne glede nanjihovo orientacijo ali ploščino. Do tega aksioma smo prišli na osnovi mehanike, sajtrikotnike definira dinamika; konstruiramo jih tako, da z daljicami, to je s krivuljamipo katerih se gibljejo prosti delci, tri točke povežemo v lik. V kartezičnih koordinatahje simetrijo najlaže zapisati, saj se samo v teh koordinatah enačbe premiczapišejo tako, da so vse tri koordinate linearne funkcije nekega parametra npr. časa.Omenjena simetrija evklidskega prostora mora torej pomeniti, da se morajo enačbegibanja prostih delcev (ki povedo kako narišemo premice) zapisati enako ne glede nato, v kateri točki prostora izberemo začetek koordinatnega sistema ali v katere smerineba orientiramo njegove osi. Še več, v vseh koordinatnih sistemih, ki se med sebojrazlikujejo le po tem, da se med seboj enakomerno gibljejo, morajo imti enačbe zagibanje prostih delcev enako obliko, saj se enakomerno gibanje vidi tako v vseh koordinatnihsistemih, le hitrost gibanja je glede na različne inercialne sisteme različna.Vzemimo dva taka inercialna sistema S in S ′ . Naj bodo kartezične koordinate točke℘ v sistemu S {x, y, z}, v koordinatnem sistemu S ′ pa {x ′ , y ′ , z ′ }. Skupaj z GalileoGalilejijem smo pričakovali, da se enačbe gibanja zapišejo enako v S in S ′ , če sokoordinate točke ℘ v obeh sistemih povezane z Galileijevo transformacijo:⎛ ⎞ ⎛⎞x R 11 x ′ + R 12 y ′ + R 13 z ′ + v x t + x 0⎝y⎠ = ⎝R 21 x ′ + R 22 y ′ + R 23 z ′ + v y t + y 0⎠ (B.1)z R 31 x ′ + R 32 y ′ + R 33 z ′ + v z t + z 0Pri tem so R ik (konstantne) komponente ortogonalne matrike, ki zavrti koordinatnisistem in ima zato lastnost R ˜R = I - matrika R pomnožena s transponirano matriko( ˜R) da enotsko matriko (I).Če naj vidita opazovalca v sistemu S in v S ′ enake enačbe gibanja za prosti delec,morata biti Lagranževi funkciji za prosti delec v obeh sistemih enaki ali vsaj ekvivalentni.Vstavimo (B.1) v (A.5) in dobimo Lagranževo funkcijo (kinetično energijo vtem primeru) za delec v sistemu S izraženo s koordinatami v S ′ . Tako dobimo:L(ẋ ′ , ˙ y ′ , ˙ z ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) = 1 2 m(ẋ′2 + ˙ y ′2 + ˙ z ′2 ) ++m(v x R 11 ẋ ′ + v x R 12 ˙ y ′ + v x R 13 ˙ z ′ + · · · + v z R 33 ˙ z ′ ) + 1 2 m(v2 x + v2 y + v2 z )(B.2)7