TEORIJA GRAVITACIJE

Časovni interval ∆t dobimo tako, da integriramo 9.19 na obeh straneh. Za tanamen si oglejmo integral:I(ϕ; ǫ) =∫ ǫ 2 + 1 + 2ǫ cosϕ(1 + ǫ cos ϕ) 2 dϕ =∫(ǫ + 1) 2 − 4ǫ sin 2 ϕ 2[sin2 ϕ+ 2 cos2 ϕ− ǫ 2 sin2 ϕ + ǫ ]2 cos2 ϕ 2dϕ =2=∫ ( (ǫ + 1)2tg 2 ϕ + 1) − 4ǫtg 2 ϕ 2 2[(ǫ + 1) − (ǫ − 1)tg2 ϕ2∫ tg2 ϕ= 2+ 2 (ǫ+1 ǫ−1 )2[ ǫ+1− ǫ−1 tg2 ϕ2S substitucijo z = tg ϕ pridemo do integrala oblike:2∫] 2dtg ϕ 2] 2dϕcos 2 ϕ2a 4 + z 2 1 − a2(a 2 − z 2 ) 2dz = ln a − z4a a + z + 1 + a22za 2 − z 2(I.23)(I.24)Tako dobimo za časovni interval:∆t =∫ t2t 1[dt = 4M ∗ √ tg ϕ 2ǫ2 − 1 ǫc ǫ + 1 − (ǫ − 1)tg 2 ϕ2√1−2 √ ǫ 2 − 1 lnǫ+1ǫ−1 − tg ϕ 2√ǫ+1ǫ−1 + tg ϕ 2[ ](I.25)ϕ2Notacija . . . pomeni, da moramo izračunati vrednost oglatega oklepaja za ϕ = ϕ 2ϕ 1in od njega odšteti vrednost oglatega oklepaja za ϕ = ϕ 1 . Prvi člen preoblikujemopo naslednjih korakih: števec in imenovalec množimo s cos 2 ϕ in upoštevamo, da je2sin ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ in cos ϕ = 2 2 cos2 ϕ − 2 sin2 ϕ . Upoštevamo še 9.5 v obliki r 2 0 =2M ∗ (ǫ 2 −1). V drugem členu pa nadomestimo ǫ+1 = tg ϕ 0, pri čemer je ϕ ǫ−1 2 0 kot, ki gaoklepa asimptota (hiperbolične) orbite z osjo koordinatnega sistema (ki je orientiranaod gorišča hiperbole proti temenu). S temi ugotovitvami lahko zapišemo 9.23 v obliki:[1 r 0 sin ϕ∆t = √c 1 − 1 1 + ǫ cos ϕ − 2M ∗ln tg ϕ 0− tg ] ϕ ϕ22 2c tg ϕ 0+ tg ϕ (I.26)ǫ 2 2 21Faktor √ ...pri prvem členu je enak 1 do drugega reda v majhni količini, preostali delprvega člena pa prepoznamo kot (r 2 sin |ϕ 2 |+r 1 sin |ϕ 1 |)/c, to je (zopet z natančnostjodo drugega reda) razdalja med začetno in končno točko deljena s hitrostjo svetlobe.Ta člen da klasični izraz za čas preleta med točkama ”1” in ”2”. Drugi logaritemski80ϕ 1] ϕ2ϕ 1