TEORIJA GRAVITACIJE

Izrazimo orbito še v kartezičnih koordinatah! Brez škode izberemo ϕ 0 = 0 inpomnožimo enačbo 8.24 z 1 − ǫ cos(ϕ). Upoštevamo še 8.6 in dobimo:r − ǫx = r 0(H.31)Člen ǫx prestavimo na desno in kvadriramo ter upoštevamo, da je r 2 = x 2 + y 2 .Dobljeno uredimo v normalno formo in ostane:(x −r 0 ǫ1−ǫ 2 ) 2(r01−ǫ 2 ) 2+ y2r02 = 1 (H.32)1−ǫ 2Če je |ǫ| < 1 (u 1 > 0), sta oba imenovalca pozitivna in 8.25 je enačba elipse z osema:a =r 01 − ǫ 2 in b =r 0√1 − ǫ2(H.33)in ekscentričnostjo:e = √ a 2 − b 2 =r 0ǫ. (H.34)1 − ǫ 2Zamik središča elipse 8.25 iz koordinatnega izhodišča je ravno enak goriščni razdalji.Tako smo pokazali veljavnost prvega Keplerjevega zakona, ki pravi, da so orbiteplanetov elipse, katerih eno gorišče je v Soncu.Drugi Keplerjev zakon je povezan z ohranitvijo vrtilne količine. Če vstavimo 8.2v 8.4 in upoštevamo, da je za primere, ki nas ta trenutek zanimajo u ≪ 1, lahkozapišemo vrtilno količino v obliki:⃗ l = m⃗r × ˙⃗r(H.35)Spomnimo se, da je 1 ⃗r × d⃗r ploščina trikotnika, ki ima za stranici vektorja ⃗r in d⃗r.2Tako je:⃗1 ldτ = 2m ⃗r × d⃗r = 2mˆndA (H.36)2Pri tem je dA ploščina, ki jo opiše vektor ⃗r v času dτ, ˆn pa je enotski vektor, ki kažev smer vrtilne količine. Konstantnost vrtilne količine torej zagotavlja konstantnosthitrosti naraščanja površine A, kar je Kepler izrazil s svojim drugim zakonom.Pokažimo še veljavnost tretjega Keplerjevega zakona v limiti u ≪ 1! Enačbo 8.28integriramo po obhodu planeta okrog Sonca. Na levi strani dobimo vrtilno količino(ki je konstantna) pomnoženo z obhodnim časom T, na desni pa je ploščina orbite(πab - glej 8.25 in 8.26) pomnožena z 2m. Kvadrat te izjave zapišemo takole:( l ) 2T 2 = 4(πab) 2 (H.37)m71