TEORIJA GRAVITACIJE

projekcijo vektorskega polja na infinitezimalni odsek krivulje C. Ta projekcija je vvsaki točki skalar, ki je odvisen samo od dolžine poti (ds), od velikosti vektorja fin od kota med tangento na pot in vektorjem f. Ta skalar ne sme in ne more bitiodvisen od koordinatnega sistema v katerem ga izračunamo. Prav to je razlog, dadefiniramo 1-forme na tak način; imajo vedno enak geometrijski pomen, ne gledena to v kateri koordinatni bazi so zapisane. Bralec si gotovo lahko predstavlja, daso komponente 1-form odvisne od koordinatnega sistema, saj se koordinatne 1-formerazličnih koordinatnih sistemov med seboj razlikujejo. Samo kombinacija komponentin koordinatnih 1- form je neodvisna od koordinatnega sistema.Naloga J.9: V evklidskem 3-razsežnem prostoru s koordinatami x, , y in z vpeljemoše sferne koordinate r, θ, in ϕ. Pokaži, da se 1-forma dr izraža v kartezičnikoordinatni bazi takole:dr = x r dx + y r dy + z r dz(J.89)Izrazi nekaj krivulj v obeh koodrinatnih sistemih (v kartezičnem in v sfernem) in seprepričaj, da je vrednost izraza dr[C]/ds neodvisna od tega, v katerih koordinatahga izračunamo, če je le ds dolžina poti vzdolž krivulje v obeh primerih. Nekateriračuni in razmisleki petega poglavja so lahko pri tem v pomoč.Pokazali smo, da pojem razdalje na mnogoterosti omogoča tesno zvezo med vektorskimipolji in 1-formami. Vendar je mogoče govoriti tako o vektorskih poljih koto 1-formah tudi če pojem razdalje ni definiran. Vektor v točki si predstavljamo kottangento na krivuljo, ki gre skozi to točko. Včasih je ugodno, če si predstavljamovektorje kot operatorje, ki delujejo na krivulje - podobno kot 1-forme. Ker tvorijovsi vektorji v vsaki točki mnogoterosti vektorski prostor, je dovolj, če povemo, kakodelujejo na krivulje bazni vektorji. Bazni vektor e k je tangenta na krivuljo C k J.75.Smiselno je definirati delovanje operatorja e k tako, da je:e k C l = δ klTako delovanje dosežemo, če reprezentiramo operator e k s∂∂x k :(J.90)e k ˆ= ∂(J.91)∂x kNajpomembnejše pri tem zapisu je povdarek na koordinatno invariantni reprezentacijivektorjev. To pomeni tole: Če je vektor v v kartezičnih koordinatah zapisan v obliki:v = v i ∂∂x i , (J.92)103