TEORIJA GRAVITACIJE

Kasneje se bomo ukvarjali še z 2-formami, 3-formami itd., ki delujejo na ploskve,prostornine itd. Tudi med temi operatorji bomo definirali direktni produkt kot binarnioperator, katerega vrednost je za vsako dvojico struktur enaka produktu vrednostiobeh operatorjev položenih na svojo stukturo.Vrnimo se k ločnemu elementu J.63! Z direktnim produktom zapišemo:ds 2 = δ ik dx i ⊗ dx k [C][C](J.66)Indeksa i in k tečeta tu od 1 do 3, v n-razsežnem evklidskem prostoru pa seveda od1 do n.Naloga J.7: Prepričaj se, da smemo v skladu z J.65 zapisati:dx ⊗ dy[C 1 ][C 2 ] = dx (1) dy (2) = dx (1)dtdy (2)dt ′ dtdt ′ , (J.67)pri čemer smo z x (1) (t), y (1) (t) in z (1) (t) označili točke na prvi krivulji (C 1 ), z x (2) (t ′ ),y (2) (t ′ ) in z (2) (t ′ ) pa točke na drugi krivulji (C 2 ). Na osnovi tega se prepričaj, da jezapis ločnega elementa J.66 ekvivalenten J.63!Enačba J.66 pove vse o medsebojnih razdaljah med točkami v prostoru in s temdoloča gibalne enačbe za proste delce v tem prostoru. Ta izjava je današnji destilatdolgoletne izkušnje, da še telesa, na katere ne deluje nobena sila, gibljejo enakomernoin premočrtno”. V bolj formalnem jeziku lahko rečemo, da je J.66 najpreprostejšarealizacija koordinat v prostoru (pravzaprav v mnogoterosti), v katerem je dinamikaprostih delcev invariantna glede na Galilejeve transformacije. Prav je, da se ob temspomnimo, da je trajalo zelo, zelo dolgo, da smo se ljudje zavedeli zveze med Galilejevoinvariantnostjo gibalnih enačb in aksiomi evklidske geometrije. Že v trinajstemstoletju je npr. Nikolaj Kuzanski razmišljal o tem, da je premočrtno enakomernogibanje videti tako iz vseh sistemov, ki se med seboj gibljejo premo in enakomerno.Vendar je Galileo Galilei šele v 17. stoletju jasno postavil zakon vztrajnosti. Gibalneenačbe za delce pa je končno formuliral Isaac Newton skoraj sto let kasneje. Formalnaslika o povezavi med geometrijo prostora in dinamiko delcev v njem, čeprav že povdarjenapri Newtonu, je nastala šele mnogo kasneje z razvojem analitične mehanike.Lahko rečemo, da je postala kompletna šele koncem prejšnjega stoletja, to je takrat,ko je tako težko pridobljena predstava o Galilejevo invariantnem prostoru začelapokati. Lorentz, Poincaré in drugi so slutili, da Galilejeva invariantnost ni natančna,vendar je bilo treba počakati Einsteina, da je jasno postavil invariantnost prostora97