TEORIJA GRAVITACIJE

odvedljivimi funkcijami afinega parametra (λ; za fizika je tak parameter pogostočas.)C : x i = ξ i (λ)(J.59)Povedali smo že, da je dovolj kratek odsek krivulje poljubno podoben daljici, toje enodimenzionalni simplektični strukturi. Vsa informacija, ki jo potrebujemo otaki daljici, če imamo že definiran koordinatni sistem je ta, za koliko se spremenekoordinate med začetkom in koncem daljice. V ta namen definiramo koordinatne1-forme kot operatorje, ki merijo prirastke posameznih koordinat vzdolž poti pokrivulji. Naj bo ℘ 0 točka na krivulji v kateri zavzame afini parameter vrednost λ 0 . Čedelujemo s koordinatno 1-formo dx i 0na krivuljo C v točki ℘ 0 , dobimo infinitezimalniprirastek koordinate x i 0, to je:dx i 0[C]| λ=λ0 = dξi 0dλ | λ=λ 0dλ(J.60)(Od tu naprej bomo ponavadi v zapisu izpuščali eksplicitno določilo točke | λ=λ0 ).Koordinatne 1-forme linearno kombiniramo v splošne 1-forme, ki jih bomo navadnooznačevali z malimi črkami in indeksom ”1”v oklepaju. Tako je npr.:f (1) =n∑f i (x 1 , . . .x n )dx i ≡ f i dx ii=1(J.61)Pri tem so f i (x 1 , . . .x n ) komponente 1-forme f (1) glede na koordinate (bazo 0-form)x 1 , x 2 , . . . x n . Te komponente so lahko v splošnem funkcije položaja.Definicija J.60 je smiselna le, če je linearna kombinacija 1-form tudi 1-forma. Topomeni: če sta f (1) in g (1) dve 1-formi, potem je njuna linearna kombinacija 1-forma,ki takole deluje na krivulje:(αf (1) + βg (1) )[C] = αf (1) [C] + βg (1) [C] , (J.62)pri čemer velja ta zveza za vsako krivuljo C. Matematiki pravijo, da tvorijo 1-formen razsežen vektorski prostor v vsaki točki mnogoterosti.Pojem 1-form je koristen za opis kinematike. O dinamičnih modelih gibanja pasamo v njihovem okviru ne moremo razmišljati. Vpeljati moramo še pojem ločnedolžine. V prejšnjih poglavjih smo namreč spoznali, da tako v Newtonovi mehanikikot v teoriji relativnosti definicija ločnega elementa določa enačbe gibanja za prostedelce.Ločne dolžine na Zemlji (za tiste čase na ravnini) so določali že stari narodi Asirci,Babilonci, Egipčani itd. na ta način, da so s standardnimi palicami merili odseke95