TEORIJA GRAVITACIJE

tako, kot smo navajeni v nerelativistični fiziki in pokažimo, da je res konstantna!Najprej zapišemo komponente gibalne količine (samo krajevne komponente):p i = ∂L∂x i= m ( 1 + 2GM )ẋj ηc 2 jirUredimo jih v 3-vektor:⃗p = m ( 1 + 2GM )˙⃗rc 2 rPo gibalnih enačbah 3.3 je v našem primeru:(H.2)(H.3)dp idτ= ∂L∂x i= ∂L∂roziroma v vektorski obliki:d⃗pdτ = ∂L ⃗r∂r rTri-vektor vrtilne količine definiramo tako kot smo vajeni:∂r, (H.4)∂x i(H.5)⃗ l = ⃗r × ⃗p(H.6)Odvod vrtilne količine ⃗ l po lastnem času je:d ⃗ ldτ = ˙⃗r × ⃗p + ⃗r × ˙⃗p = 0(H.7)Prvi člen za enačajem je nič, ker je gibalna količina ⃗p po 8.2(a) vzporedna s hitrostjo(˙⃗r), drugi pa je nič, ker je odvod gibalne količine po 8.3(a) vzporeden ⃗r. Ker setorej vrtilna količina ohranja, leži orbita v ravnini pravokotni na vrtilno količino.Koordinatni sistem lahko vedno izberemo tako, da leži orbita v ravnini x −y, vrtilnakoličina pa kaže v smer osi z. V ravnini x − y (z = 0) je ugodno izbrati polarnikoordinati r in ϕ, tako da je:x = r cosϕ , y = r sin ϕ in z = 0 (H.8)Potem je:Tako je:ẋ = ṙ cos ϕ − r ˙ϕsin ϕẏ = ṙ sin ϕ + r ˙ϕ cosϕẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = ṙ 2 + r 2 ˙ϕ 2(H.9)(H.10)(H.11)67