TEORIJA GRAVITACIJE

Vidimo, da je divergenca tenzorja l po prvem indeksu enaka 0, če je napetostni tenzorsimetričen (če T µν = T νµ ) in seveda če veljajo enačbe gibanja (T µν , ν = 0).Zaradi (G.2.5) velja:∫l µνσ , µ d 4 x =∫VdV∫ t2t 1cdt{l 0 νσ , 0 +l i νσ , i } (G.2.6)Prvi del integriramo po času, pri drugem pa uporabimo Gaussov izrek in pretvorimodivergenco v integral po površini. Tako dobimo:∫ ∫ ∫ t2∫l 0 νσ| t=t2 dV − l 0 νσ| t=t1 dV + cdt l i νσdS i = 0 (G.2.7)SVvČe je ploskev S po kateri integriramo dovolj daleč, tako da masna porazdelitev nikdarne seže do nje, je (G.2.7) izjava o ohranitvi vrtilne količine izoliranega sistema: vrtilnakoličina sistema, ki jo definiramo kot:∫≡ l 0 µν dV(G.2.8)L µνse ohranja, če sistem ni v stiku z okolico, ali z drugimi besedami, če eksistira zaključenaploskev S, zunaj katere ima napetostni tenzor vrednost nič. Vidimo tudi,da je gornje sklepanje pravilno samo, če je napetostni tenzor simetričen (glej (G.2.5)).Ker verjamemo v zakon o vrtilni količini, bomo od vsakega napetostnega tenzorjavedno zahtevali simetričnost.Vt 1Naloga G.2.1: Pokaži, da ima v inercialnem sistemu, katerega izhodišče je v težiščusistema, tenzor vrtilne količine samo krajevne komponente različne od nič. Ta nesimetričnikrajevni tenzor se ujema s tenzorjem (včasih mu rečejo aksialni vektor)vrtilne količine kot smo ga vajeni v Newtonovi mehaniki.7.3 Napetostni tenzor elektromagnetnega poljaVideli smo, da mora biti divergenca napetostnega tenzorja, ki naj bo izvor gravitacije,vedno enaka nič (enačba F.12 in F.31). To je posledica umeritvene invariantnosti,oziroma preprostega dejstva, da morajo dati enačbe gibanja pravo rešitev neglede na to, v katerem koordinatnem sistemu jih zapišemo. Po drugi strani pa smovideli ((G.1.10) - (G.1.12)), da je izjava o ničelni divergenci napetostnega tenzorjapravzaprav izjava o enačbi gibanja tistega, kar napetostni tenzor opisuje. V prejšnjem53