TEORIJA GRAVITACIJE

Ker mora biti rešitev tega sistema enačb krivulja C k , vzdolž katere narašča samok-ta koordinata, mora biti ˙ξi = 0 če i ≠ k. Za i = k pa je vrednost odvoda različnaod nič; v našem primeru jo diktira vez J.79. Tako je ˙ξ k = 1/ √ g kk . V splošni oblikipa zapišemo ˙ξ i = 1/ √ g kk δ ik . Komponente bazne 1-forme, ki ustreza krivulji C k (toje baznim vektorjem e k ) so po J.80:e k i =λ √gkkδ kl g li(J.81)Vrednost Lagranževega multiplikatorja λ je določena z normalizacijo 1-forme e k .Ponavadi izberemo e k tako, da jeZato je po J.77 in J.82:e k [C k ] = dσT e k(℘) = 1 √gkk(J.82)(J.83)Ko to primerjamo z J.81, ugotovimo, da mora biti λ = √ g kk in 1-forma e k se izražav obliki:e k = δ kl g lm dx m(J.84)Bazne 1-forme (dx k ) lahko sedaj izrazimo z 1-formami e k , prirejenimi baznim vektorjem. V ta namen potrebujemo matrični obrat metričnega tenzorja. Elemente teinverzne matrike označimo z g ik in velja:Tako dobimo iz J.84:g ik g kl = δ i l , (J.85)dx l = g lm δ km e kPreslikava J.74 torej priredi 1-formi dx l linearno kombinacijo baznih vektorjev:oziroma 1-formi f (1) vektorsko polje f:(J.86)dx l =⇒ g lm e m , (J.87)f (1) = f i dx i =⇒ f i g ik e k = f(J.88)Lahko se je prepričati, da so komponente 1-forme f i v kartezični koordinatni bazikar komponente ustreznega vekorskega polja. Tako uvidimo, da predstavlja izrazf (1) [C] to, kar smo v klasični matematični fiziki navajeni označiti z ⃗ f · d⃗s, to je102