TEORIJA GRAVITACIJE

Računanja ploščine poljubno orientiranega paralelograma pa se lotimo tako, da sezavrtimo v koordinatni sistem glede na katerega leži paralelogram v ”ravnini’ dvehkoordinat, nato pa izrazimo ploščino po J.102 s starimi (nezavrtenimi) koordinatmi.Na ta način pridemo do naslednjega izraza za kvadrat infinitezimalne ploščine:dS 2 =14(n − 2)! ε ab...efgε ij...lmn δ ai δ bj . . .δ el (dx f ∧dx g ) ⊗(dx m ∧dx n )[A][A] (J.113)Zgoraj ima vsak antisimetrični simbol (ε) n različnih indeksov, Kronekerjevih δ paje n − 2.Naloga J.13: Prepričaj se, da dobiš J.95, če je ploskev A ravnina x 1 = u, x 2 = v,x 3 = X0 3 ... xn = X0 n ! (Opazil boš, da šteje faktor 4(n − 2)! v imenovalcu številoponovitev dve forme dx 1 ∧ dx 2 = −dx 2 ∧ dx 1 .)Naloga J.14: Pokaži, da se tudi v zavrtenih koordinatahdx i′ = R i k dxk (J.114)element kvadrata ploščine izraža z J.113, samo če zamenjamo originalne koordinates črtkanimi.Zapišimo še kvadrat ploščinskega elementa v krivočrtnih koordinatah (v katerihse razdalje med točkami zapišejo kot v J.75:dS 2 1=4(n − 2)! g1/2 ε ab...efg g 1/2 ε ij...lmn g ai g bj . . .g el (dx f ∧ dx g ) ⊗ (dx m ∧ dx n )[A][A](J.115)Pri tem je g standardna oznaka za determinanto metričnega tenzorja. Pravilnosttega izraza lahko pokažemo, če se iz kartezičnih koordinat preselimo v krivočrtne.Dokazovanje je premočrtno vendar zamudno, zato ga tu ne bomo reproducirali.Vektorski prostor 1-form je prostor linearnih kombinacij (n) baznih 1-form. Podobnoje prostor 2-form prostor linearnih kombinacij baznih 2-form. Splošni element v temprostoru lahko torej zapišemo v obliki:f (2) = 1 ∑f ij dx i ∧ dx j2i,j(J.116)Pomembne so samo antisimetrične komponente matrike f ij , saj tisti del f ij , ki niantisimetričen, zaradi antisimetrije baznih 2-form glede na zamenjavo obeh indeksov,108