TEORIJA GRAVITACIJE

U = {1, 0, 0, 0} in k = {0, 0, 0, 1}. Operator, ki projicira tenzorje v to ravnino je:⎛ ⎞0 0 0 0P TT = ⎜ 0 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0⎠ ,(G.5.7)0 0 0 0TT redukcijo pa lahko z njim zapišemo v obliki:e TT = P TT .e.P TT − 1 2 P TTTr ( P TT .e.P TT)//,(G.5.8)pri čemer TrA označuje sled tenzorja A. Operator P TT lahko v splošnem zapišemov obliki: ⎛ ⎞ ⎛⎞0 0 0 0 0 0 0 0P TT = ⎜ 0 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0⎠ − ⎜ 0 n x n x n x n y n x n z⎟⎝ 0 n y n x n y n y n y n z⎠ , (G.5.9)0 0 0 1 0 n z n x n z n y n z n zpri čemer so n i komponente enotskega vektorja ˆn v smeri ⃗ k(= kˆn).Naloga G.5.2: Pokaži, da je P TT res projektor, to je P TT = P TT .P TT . Z eksplicitnimračunom se prepričaj, da prevede operacija G.5.8 polarizacijski tenzor G.5.3v G.5.6.Vidimo, da transverzalno brezsledna redukcija vedno uniči časovno-časovne inčasovno krajevne komponente potencialov h µν , zato je rezultat za amplitudi gravitacijskegavala neodvisen od uničenih potencialov. Relevantne komponente v transverzalnobrezsledni umeritvi dobimo torej samo iz krajevnega dela potencialov, toje iz 3-tenzorja h (3) → h ij . Tridimenzionalna projekcija TT redukcije G.5.8 se torejzapiše v obliki:h (3) = P (3)TT n .h (3) .P n (3) − 1 ( )2 P n (3) Tr P n (3) .h (3) .P n(3) , (G.5.10)pri čemer je P n(3) = I (3) − ˆnˆn krajevni del projektorja G.5.9, I (3) pa je enotski tenzorv treh dimenzijah. Ni težko pokazati, da je gornje neodvisno od sledi tenzorja h (3) ,zato lahko vpeljemo brezsledni del:q (3)ij = h (3)ij − 1 3 δ ijTr[h (3) ],s katerim se G.5.10 zapiše v obliki:h (3) = P (3)TT n .q(3) .P n (3) − 1 ( )2 P n (3) Tr P n (3) .q(3) .P n(3)(G.5.11)(G.5.12)61