TEORIJA GRAVITACIJE

izraz je invarianten glede na lokalne Lorentzove transformacije, če se komponentetenzorja h µν pri prehodu v inercialni sistem transformirajo v:h µν (℘) = R λµ R σν h′ λσ (℘)(D.23)Matematik bi rekel, da je gornji izraz invarianten glede na lokalne Lorentzove transformacije,če se komponente h µν obnašajo kot komponente tenzorja v vektorskemprostoru z metriko, ki jo je mogoče napisati v komponentah z η µν .Naloga D.6: Primerjaj gornje transformacijsko pravilo s (D.17) in pokaži, da jeLagranževa funkcija (D.22) invariantna glede na lokalne Lorentzove transformacije!Enačbe gibanja dobimo zopet tako, da vstavimo Lagranževo funkcijo (D.22) v(C.3). Rezultat je:m(η µν + h µν )ẍ ν + mh µν , λ ẋ ν ẋ λ − 1 2 mh λσ, µ ẋ λ ẋ σ = 0 (D.24)Z malo aritmetike in potrpljenja je mogoče pokazati, da je glede na enačbe gibanja(D.24) Lagranževa funkcija (D.22) konstanta gibanja. Torej je po izreku iz nalogeA.2 poljubna funkcija Lagranževe funkcije (D.22) ekvivalentna (D.22). V splošnirelativnosti se ponavadi uporablja obliko L → √ −2mL in Lagranževo funkcijo zadelec v gravitacijskem polju zapišemo v obliki:√L g = m −(η µν + h µν )ẋ µ ẋ ν(D.25)Naloga D.7: Preveri, da je (D.24) res enačba gibanja za Lagranževo funkcijo(D.22) in pokaži, da se vrednost Lagranževe funkcije ohranja vzdolž poti delca(izračunaj dL/dτ in namesto ẍ µ vstavi pospešek izračunan po (D.24)).Zanimivost Lagranževe funkcije za delec v gravitacijskem polju v obliki (D.25) jev tem, da se zapiše ustrezna akcija kot:S/m =∫ τ2τ 1√−(η µν + h µν )dx µ dx ν(D.26)To akcijo lahko razumemo kot neke vrsto razdalje v prostoru, kot smo razumeli (A.6),oziroma kot je mogoče razumeti (C.2) s tem, da lahko s to razdaljo povezujemo samotočke, ki so časovno razmaknjene ali pa samo točke, ki so krajevno razmaknjene čezamenjamo znak pod korenom. Če sta (D.22), oziroma (D.25) pravi Lagranževifunkciji za delec v gravitacijskem polju, potem lahko razumemo teorijo gravitacije27