TEORIJA GRAVITACIJE

= dv i 0= ∂vi 0∂x k dxk(J.171)Tudi za Lijev odvod 1-form velja Leibnitzovo pravilo (Prepričaj se sam!). Zato lahkozapišemo, kako se izraža Lijev odvod sploše 1-forme, če je zapisana kot linearnakombinacija baznih 1-form:L v(f(1) ) = L v(fi dx i) = L v(fi)dx i + f i L v(dxi ) =(J.172)(L v fi dx i) = ∂f i∂x k vk dx i ∂v i+ f i = ∂f i∂x kdxk ∂x k vk dx i ∂v k+ f k∂x i dxi = (J.173)[ ∂fi ∂v k ]=∂x k vk + f k dx i(J.174)∂x iPo Leibnitzovem pravilu lahko sedaj zapišemo Lijev odvod poljubne p-forme alipoljubnega tenzorskega polja, ki se izraža z direktnim produktom form in (ali) vektorskihpolj.Lokalna psevdogrupa je preslikava mnogoterosti same vase. Če je Lijev odvodnekega vektorskega (ali tenzorskega) polja glede na lokalno psevdogrupo enak 0,potem pravimo, da je to vektorsko (ali tenzorsko) polje invariantno glede na tolokalno psevdogrupo. Vektorsko polje, ki ga dobimo, če paralelno prenesemo nekvektor v vse točke na ravnini, je prav gotovo v tem smislu invariantno glede na lokalnopsevdogrupo, katere silnice so paralelne premice na papirju. Lokalna psevdogrupa, kiomogoča paralelen prenos, ni katerakoli lokalna psevdogrupa, ki bi jo lahko definiralina ravnini, ampak ima neke posebne lastnosti. Te lastnosti so povezane s simetrijotake mnogoterosti kot jo realizira list papirja. Zato bomo še za kratek čas odložilirazpravo o paralelnem prenosu in si privoščili kratek izlet med Lijeve grupe.Razpravo začnemo z lokalno psevdogrupo. To je množica preslikav mnogoterostisame vase, pri katerih se točka ℘ preslika v ℘ ′ = σ(℘, t) in velja J.150. Elementlokalne psevdogrupe označuje parameter t, ki je v zvezi z velikostjo premika med ℘in ℘ ′ . Množica elementov lokalne psevdogrupe je zato izomorfna množici naravnihštevil in jo lahko smatramo kot enorazsežno mnogoterost.Lokalna psevdogrupa je torej množica transformacij mnogoterosti same vase,s katerimi se točke mnogoterosti premikajo vzdolž silnic, ki jih generira tok vektorskegapolja lokalne psevdogrupe. Zamislimo si širšo množico preslikav, ki jo bomoimenovali G, njene elemente pa g. V množici G naj bo dovolj elementov, da lahkovedno najdemo vsaj enega, ki preslika poljubno točko ℘ na mnogoterosti v poljubnodrugo točko ℘ ′ . Elementi (g) te množice naj delujejo na mnogoterost X (tej mnogoterostipripadajo točke ℘) natanko na enak način kot elementi lokalne psevdogrupe- poljubno točko ℘ premaknejo v drugo točko ℘ ′ = σ(℘, g). Množica G z elementi121