TEORIJA GRAVITACIJE

dimenziji (n−r)-form (Prepričaj se sam!). Zato je na n-razsežni mnogoterosti mogočekonstruirati difeomorfno preslikavo med r in (n−r)-formami, ki so ji dali ime zvezda( ∗ ):f (r) =⇒ F (n−r)(J.124)alif (r)∗ = F (n−r) (J.125)je slika r-forme∑f (r) , ki jo naredi operacija zvezda. Operacija zvezda preslika r-formof (r) (= 1 fij...l dx i ∧ dx j ∧ . . . ∧ dx lr! } {{ }) v n − r formo s komponentami:r faktorjevF ab...d =1(n − r)! g−1/2 g ai g bj . . .g dm ε ij...mn...pq f n...pq (J.126)Naloga J.15: Pokaži, da velja:ε ijk...pq g a1 ig a2 jg a3 k . . .g a(n−1) pg anq = gε a1 a 2 ...a n. (J.127)Naloga J.16: Pokaži, da je pri operaciji zvezda slika slike enaka originalu! (Rezultatprejšnje naloge je lahko v veliko pomoč.)Klinasti produkt med formamiV n razsežnem prostoru je ugodno definirati klinasti produkt med p in r formami(p + r ≤ n) tako, da zanj veljajo vsa pravila klinastega množenja (J.57 in J.58).Uporabnost klinastega produkta med formami bomo spoznali na primerih.Naloga J.17: Naj bosta f (p) in f (q) p- forma in q-forma, ki se v komponentah (lahkotudi krivočrtnih) izražata kot f (p) = f ij...l dx } i ∧ dx j {{ ∧ . . . ∧ dx}l in g (q) =p faktorjevg ij...s dx } i ∧ dx j {{ ∧ . . . ∧ dx}s . Zapiši komponente produktne forme (h (p+q) = f (p) ∧g (q) ).q faktorjevNaloga J.18: Naj bosta f (1) in g (1) 1- formi, ki jima v trirazsežnem prostorupripišemo vektorski polji f in g. Pokaži, da je vektorsko polje k, ki ga po J.119priredimo produktu k (2) = f (1) ∧ g (1) , vektorski produkt polj f in g ( ⃗ k = ⃗ f × ⃗g).111