TEORIJA GRAVITACIJE

naprej: ker je prvi del Lagranževe funkcije (D.14) očitno invarianten glede na Lorentzovepotiske, mora biti tudi drugi del ẋ µ A µ (x λ ). To je tudi res, če se četverec hitrostienako transformira kot četverec vektorskega potenciala in je ẋ µ A µ neke vrste skalarniprodukt dveh vektorjev, ki se podobno kot v treh dimenzijah izraža s produktomdolžin vektorjev in kosinusom vmesnega kota, kar ni prav nič odvisno od koordinat.Kako se morajo spremeniti komponente vektorskega potenciala pri prehodu med koordinatnimisistemi določajo enačbe (D.6) in (D.10). Če v vsem prostoru ni tokov,so enačbe (D.6) gotovo invariantne glede na vse Lorentzove transformacije, saj smopoiskali te transformacije kot tiste, ki ohranjajo obliko prav tovrstnih enačb. Nadesni strani v izvorih enačb (D.6) pa stojijo komponente toka. Po (D.10) pa se komponentetoka pri prehodu iz koordinatnega sistema S v S ′ transformirajo ravno takoz Lorentzovo matriko, kot smo videli npr. v (C.9). Zato se morajo tudi komponentevektorskega potenciala transformirati na enak način, to je:A µ (℘) = η µν R ν λη λσ A ′ σ(℘) ≡ R σµ A ′ σ(℘) (D.17)Tehnična podrobnost: Pogosto se pojavljajo izrazi oblike η µν S···ν···, zato je vveljavi dogovor, ki ga opravičuje (B.21), da z η µν in z η µν spuščamo in dvigujemoindekse v skladu s pravilom:η µν S···ν··· =S··· ···µ in η µν S···ν··· = S···µ··· (D.18)To pravilo sem uporabil v (D.17).Če naj bo Narava enotna, pričakujemo enakost relacij med vsemi naravnimi silamiv vseh inercialnih sistemih. Zato zahtevamo od modelov za katerokoli silo naraveinvariantnost glede na lokalne Lorentzove transformacije.Oboroženi s primerom elektromagnetne sile se lahko vprašamo, kako zapisati silona delec v gravitacijskem polju. Pričakujemo, da bi lahko tudi za delec v gravitacijskempolju napisali Lagranževo funkcijo sestavljeno iz kinetičnega dela (C.12) inpotencialnega dela, invariantnega glede na lokalne Lorentzove transformacije. Najboljpreprosta Lagranževa funkcija te vrste bi imela lahko morda, po analogiji zNewtonovo gravitacijo, obliko:L = 1 2 m Iη µν ẋ µ ẋ ν − m g Φ(x λ )(D.19)Pri tem smo vpeljali dve masi m I in m g , pri čemer je m I tista masa, ki nastopakot sorazmernostni faktor med silo in pospeškom, m g pa tista masa, ki nastopa vNewtonovem gravitacijskem zakonu kot ”masni naboj”. Enačbe gibanja, ki sledijoiz take Lagranževe funkcije so po (C.3):η µν m Id 2 x νdτ 225= −m g∂Φ∂x µ(D.20)