TEORIJA GRAVITACIJE

Grupa G ima enoparametrične podgrupe, ki so zvezne rotacije okrog izbrane osi.Predstavnik enoparametričnih podgrup je npr. krivulja:⎛cos( ˙ψt), sin( ˙ψt), ⎞0A(t) = ⎝− sin( ˙ψt), cos( ˙ψt), 0⎠ ,(J.190)0, 0, 1saj velja:in=A(0) = I(J.191)⎛cos( ˙ψt), sin( ˙ψt), ⎞ ⎛0 cos( ˙ψs), sin( ˙ψs), ⎞0A(t)A(s) = ⎝− sin( ˙ψt), cos( ˙ψt), 0⎠⎝− sin( ˙ψs), cos( ˙ψs), 0⎠ = (J.192)0, 0, 10, 0, 1⎛cos( ˙ψt) cos( ˙ψs) − sin( ˙ψt) sin( ˙ψs), cos( ˙ψt) sin( ˙ψs) − sin( ˙ψt) cos( ˙ψs), ⎞0⎝− sin( ˙ψt) cos( ˙ψs) − cos( ˙ψt) sin( ˙ψs), − sin( ˙ψt) sin( ˙ψs) + cos( ˙ψt) cos( ˙ψs), 0⎠ =0, 0, 1(J.193)= A(t + s) (J.194)Element podgrupe A(t) zavrti kroglo (mnogoterost X) okrog osi z za kot ˙ψt. Sliketočke ℘ v X glede na podgrupo ATorej če lahko za vsak ∆x 0 , ∆y 0 in t najdemo tak t ′ , da velja:{h x (∆x 0 , ∆y 0 , t), h y (∆x 0 , ∆y 0 , t)} = (J.195){h x (∆x 0 , ∆y 0 , t ′ ) + ∆x k , h y (∆x 0 , ∆y 0 , t ′ ) + ∆y k } (J.196)inddt {h x(∆x 0 , ∆y 0 , t), h y (∆x 0 , ∆y 0 , t) =(J.197)ddt {h x(∆x 0 , ∆y 0 , t) + ∆x k , h y (∆x 0 , ∆y 0 , t) + ∆y k }| t=t ′ (J.198)Ni se težko prepričati, da gornje velja samo, če je h x (∆x, ∆y, t) = h 0 x (∆x, ∆y) +αk x t in h y (∆x, ∆y, t) = h 0 y(∆x, ∆y) + αk y t, pri čemer je α poljubna od nič različnakonstanta; ker je αt tudi dober parameter, lahko vedno izberemo α = 1. Spomnimose še, da smo se prej dogovorili, da naj za vsak snop krivulj velja h(g, 0) = g, paugotovimo, da so enačbe translacijsko invariantnih krivulj v našem G:( ) ( ) ( )hx (∆x, ∆y, t) ∆x kx= + th y (∆x, ∆y, t) ∆y k y(J.199)126