TEORIJA GRAVITACIJE

Če pomnožimo gornje enačbe z ẋ µ in seštejemo po µ (dogovor o seštevanju), dobimo:d 2 x νm I η µνdτ 2 ẋµ = m I d2 dτ (η µνẋ µ ẋ ν ∂Φ dΦ) = −m g = −m∂x µẋµ gdτ(D.21)Odtod pa je razvidno, da je za Lagranževo funkcijo (D.19) izraz H = m Iη 2 µνẋ µ ẋ ν +m g Φ konstanta gibanja. Na prvi pogled se zdi taka konstanta gibanja smiselna, sajizgleda identična s konstantnostjo vsote kinetične in potencialne energije v gravitacijskempolju s potencialom φ. Po globljem premisleku pa pridemo do naslednjegaproblema. Izraz η µν ẋ µ ẋ ν je Lorentzovo invarianten in ima vrednost −c 2 , torej nikinetična energija. Če naj bo izraz H konstanta gibanja, se mora spreminjati masam g vzdolž poti delca, ko se le-ta giblje skozi prostor v močnejšem ali šibkejšem gravitacijskempotencialu Φ. Torej bi moral imeti delec v močnem gravitacijskem poljuefektivno manjšo gravitacijsko maso kot isti delec izven polja. Tudi to je videtismiselno. Do problema pa pridemo, ko sežemo še malo naprej. Ključni poskus,ki ga je najprej naredil madžarski fizik baron Eötvos, ponovila in pomembno staizboljšala njegovo natančnost še Dicke in nazadnje Braginsky je namreč pokazal,da sta gravitacijska in inercialna masa (m g in m I ) za vse snovi v enakem razmerju;ker je interakcija gravitacijskih mas opisana še sorazmernostnim koeficientom - gravitacijskokonstanto, smemo reči, da sta gravitacijska in vztrajnostna masa enaki. Vskladu s tem poskusom moramo v Newtonovem približku pisati Φ ≈ −G m , pri čemerrje m vedno ista masa ne glede na to ali se m nahaja v kakšnem zunanjem polju aline. Tega pa nam gornji nastavek ne daje. Zato moramo sklepati, da Lagranževafunkcija (D.19) ne da konsistentnih gibalnih enačb za delec v gravitacijskem polju.Sklepamo, da skalarni potencial Φ ni dovolj za opis gravitacijskega polja.Ali je treba gravitacijsko polje opisati z vektorskim potencialom? Najpreprostejšoobliko Lagranževe funkcije za delec, ki se giblje v potencialu vektorskega polja, smože izkoristili v (D.14) pri elektromagneni teoriji. Pokazati se da (vendar to nikakorni enostavno), da pripeljejo vse Lagranževe funkcije, ki bi jih konstruirali na osnoviprivzetka, da opišemo silo z vektorskim poljem in so seveda invariantni glede nalokalne Lorentzove transformacije, do sil, ki so povsem ekvivalentne elektromagnetnimsilam. Gravitacijska sila pa je vendarle drugačna. Zato je smiselno poskusitis privzetkom, da ima gravitacijsko polje tenzorski značaj - gravitacijske potencialerazvrstimo v komponente simetričnega tenzorja h µν . Po elektromagnetnem vzgleduposkusimo z nastavkom:L = m 2 η µνẋ µ ẋ ν + m 2 h µνẋ µ ẋ ν(D.22)Upoštevali smo rezultat principa ekvivalence in smo ”masni naboj”v drugem členu(pri h µν ) izenačili z vztrajnostno maso m, ki nastopa pri ”kinetičnem”členu. Gornji26