Views
2 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Upoštevali smo, da je

Upoštevali smo, da je ρ, µ u µ = dρ , zadnji člen pa smo razbili na časovni in krajevnidτdel. V nerelativistični limiti se čas in lastni čas ne razlikujeta, zato je tudi ”pospešekčasa”u 0 , 0 enak nič in enačba G.1.7 preide v znano obliko kontinuitetne enačbe zaohranitev mase. Napetostni tenzor G.1.5 najprej zapišemo tako, da razbijemo gostotopolne energije na gostoto mirovalne energije in gostoto notranje energije w polna =ρc 2 + w n . Tako dobimo:T µν = u µ j ν + w n + pc 2 u µ u ν + pη µν . (G.1.8)Divergenco napetostnega tenzorja dobimo upoštevaje G.1.7, G.1.6 in identitetou µ ∂ = d v obliki:∂x µ dτ(T µν , ν = ρ + w )n + p˙u µ + ρu µ d ( )wn + p+ p, µ = 0 (G.1.9)c 2 dτ ρc 2Naloga G.1.1: Naredi vse korake od G.1.5 do G.1.9.Časovno komponento teh enačb dobimo, če jih projiciramo na lokalno hitrostplina, to je:u µ T µν , ν = −ρ ddτ( )wn + pρ+ dpdτ = 0.(G.1.10)Če gornje pomnožimo z ∆m, maso opazovanega dela plina, in upoštevamo, da sta∆E n = wn ∆m in ∆V = ∆m/ρ notranja energija in prostornina opazovane mase,ρspoznamo, da gre za zakon o ohranitivi energije v obliki:d∆E ndτ= −p d∆Vdτ(G.1.11)Spremembe notranje energije zaradi dovedene toplote v tem izrazu ni, saj so v našemidealnem plinu trki načeloma tako redki, da nimamo ireverzibilnega mehanizma, kibi lahko spreminjal entropijo.Naloga G.1.2: Kako se spremeni gornja enačba, če napetostnemu tenzorju dodamoviskozne člene v obliki T µνvisk = χ (uµ , ν +u ν , µ ) + (Ξ − 1 2 χ)ηµν u λ , λ :Pomen krajevnih komponent enačb G.1.9 hitro razumemo, če jih zapišemo zanerelativističen plin (p ≪ ρc 2 ) v inercialnem sistemu glede na katerega se plin gibljepočasi (u i ≪ c). Krajevne komponente enačb G.1.9 se poenostavijo v:ρ ˙⃗u = −∇p,(G.1.12)kar je znana Newtonova enačba za opisovanje gibanja neviskoznih fluidov.Naloga G.1.3: Zapiši enačbe gibanja (T µν , ν = 0) za viskozni fluid.46

Za konec stehtajmo idealni plin, s katerim smo napihnili balon. Tehtanje izvedemotako, kot je v navadi med astronomi; v krožno orbito okrog balona (ki je seveda nekjedaleč v vesolju proč od velikih mas) vtirimo testni delec (delec katerega masa jemnogo manjša od mase plina). Merimo polmer krožne orbite (a) in obhodni čas (T)ter izračunamo maso plina v balonu (skupaj z maso balona) po tretjem Keplerjevema 3T 2 .zakonu: M = 4π2GKomponente napetostnega tenzorja za plin v mirujočem balonu zapišemo po(G.1.4) v obliki: ⎛⎞w polna , 0, 0, 0T plin = ⎜ 0, p, 0, 0⎟⎝ 0, 0, p, 0⎠ Θ(r 0 − r) (G.1.13)0, 0, 0, pPri tem sta: Θ(x) je Heavisideova funkcija z lastnostjo Θ(x) = 1 če x > 0 in Θ(x) = 0če x < 0, r 0 pa je polmer balona.Zapisati moramo še komponente napetostnega tenzorja za balonsko opno, sajbrez nje plin nebi miroval znotraj krogle s polmerom r 0 , ampak bi se razbežal na vsestrani. Enačba gibanja (F.31) zahteva, da ima napetostni tenzor vsega - v našemprimeru sta to opna in plin - divergenco enako nič. To je mogoče doseči na mnogonačinov. Najpreprosteje je, če vzamemo, da je balonska opna neskončno tanka injo obravnavamo tako, kot pogosto obravnavamo milnično opno. Napetostni tenzortake (idealizirane) opne je različen od nič samo pri r = r 0 in je torej sorazmeren zδ(r −r 0 ). Komponenta T 00 njegovega napetostnega tenzorja je sorazmerna ploščinskigostoti mase (σ), krajevne od od nič različne komponente pa morajo biti izotropnev tangentni ravnini opne. Napetostni tenzor opne se mora tako zapisati v obliki:T00 balon = σc 2 δ(r − r 0 ) (G.1.14)T0i balon = 0 (G.1.15)T balonij= − 1 2 r 0pδ(r − r 0 ) ( δ ij − x ix jr 2 )(G.1.16)Naloga G.1.4: Izračunaj divergenco (Tµν plin + Tµν balon ), ν in se prepričaj, da je respovsod enaka nič. (Upoštevaj, da je ∂Θ(r−r 0)= δ(r −r∂x i0 ) x iin r xi Tijbalon = 0 za vsakr!)Gravitacijsko polje, ki ga ustvarjata obe masi (plin in balon) reši enačbe (F.17), čeje ustreženo umeritvenemu pogoju (F.16). Enačbe (F.17) rešujemo po (kartezičnih)47

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Novicke_SZZ_09_2012_web
Naša sredina, številka 2, leto 1
Revija PRO - Maj 2018
K novi paradigmi pravičnosti - Založba Univerze na Primorskem
Anton Mlinar, Etika življenja - Založba Univerze na Primorskem
Številka 53 - Odvetniška Zbornica Slovenije
V katerem vesolju je moj najbližji dvojnik? - Arnes
Privoščite si več udobja in hkrati privarčujte.. - Avtomatizacija za vaš ...
PARTNER pomlad-poletje 2009 (PDF - 2,44 MB) - Hidria
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Skok med rjuhe pred pomembnimi tekmami - Shrani.si