Views
2 years ago

TEORIJA GRAVITACIJE

TEORIJA GRAVITACIJE

Upoštevali smo, da je

Upoštevali smo, da je ρ, µ u µ = dρ , zadnji člen pa smo razbili na časovni in krajevnidτdel. V nerelativistični limiti se čas in lastni čas ne razlikujeta, zato je tudi ”pospešekčasa”u 0 , 0 enak nič in enačba G.1.7 preide v znano obliko kontinuitetne enačbe zaohranitev mase. Napetostni tenzor G.1.5 najprej zapišemo tako, da razbijemo gostotopolne energije na gostoto mirovalne energije in gostoto notranje energije w polna =ρc 2 + w n . Tako dobimo:T µν = u µ j ν + w n + pc 2 u µ u ν + pη µν . (G.1.8)Divergenco napetostnega tenzorja dobimo upoštevaje G.1.7, G.1.6 in identitetou µ ∂ = d v obliki:∂x µ dτ(T µν , ν = ρ + w )n + p˙u µ + ρu µ d ( )wn + p+ p, µ = 0 (G.1.9)c 2 dτ ρc 2Naloga G.1.1: Naredi vse korake od G.1.5 do G.1.9.Časovno komponento teh enačb dobimo, če jih projiciramo na lokalno hitrostplina, to je:u µ T µν , ν = −ρ ddτ( )wn + pρ+ dpdτ = 0.(G.1.10)Če gornje pomnožimo z ∆m, maso opazovanega dela plina, in upoštevamo, da sta∆E n = wn ∆m in ∆V = ∆m/ρ notranja energija in prostornina opazovane mase,ρspoznamo, da gre za zakon o ohranitivi energije v obliki:d∆E ndτ= −p d∆Vdτ(G.1.11)Spremembe notranje energije zaradi dovedene toplote v tem izrazu ni, saj so v našemidealnem plinu trki načeloma tako redki, da nimamo ireverzibilnega mehanizma, kibi lahko spreminjal entropijo.Naloga G.1.2: Kako se spremeni gornja enačba, če napetostnemu tenzorju dodamoviskozne člene v obliki T µνvisk = χ (uµ , ν +u ν , µ ) + (Ξ − 1 2 χ)ηµν u λ , λ :Pomen krajevnih komponent enačb G.1.9 hitro razumemo, če jih zapišemo zanerelativističen plin (p ≪ ρc 2 ) v inercialnem sistemu glede na katerega se plin gibljepočasi (u i ≪ c). Krajevne komponente enačb G.1.9 se poenostavijo v:ρ ˙⃗u = −∇p,(G.1.12)kar je znana Newtonova enačba za opisovanje gibanja neviskoznih fluidov.Naloga G.1.3: Zapiši enačbe gibanja (T µν , ν = 0) za viskozni fluid.46

Za konec stehtajmo idealni plin, s katerim smo napihnili balon. Tehtanje izvedemotako, kot je v navadi med astronomi; v krožno orbito okrog balona (ki je seveda nekjedaleč v vesolju proč od velikih mas) vtirimo testni delec (delec katerega masa jemnogo manjša od mase plina). Merimo polmer krožne orbite (a) in obhodni čas (T)ter izračunamo maso plina v balonu (skupaj z maso balona) po tretjem Keplerjevema 3T 2 .zakonu: M = 4π2GKomponente napetostnega tenzorja za plin v mirujočem balonu zapišemo po(G.1.4) v obliki: ⎛⎞w polna , 0, 0, 0T plin = ⎜ 0, p, 0, 0⎟⎝ 0, 0, p, 0⎠ Θ(r 0 − r) (G.1.13)0, 0, 0, pPri tem sta: Θ(x) je Heavisideova funkcija z lastnostjo Θ(x) = 1 če x > 0 in Θ(x) = 0če x < 0, r 0 pa je polmer balona.Zapisati moramo še komponente napetostnega tenzorja za balonsko opno, sajbrez nje plin nebi miroval znotraj krogle s polmerom r 0 , ampak bi se razbežal na vsestrani. Enačba gibanja (F.31) zahteva, da ima napetostni tenzor vsega - v našemprimeru sta to opna in plin - divergenco enako nič. To je mogoče doseči na mnogonačinov. Najpreprosteje je, če vzamemo, da je balonska opna neskončno tanka injo obravnavamo tako, kot pogosto obravnavamo milnično opno. Napetostni tenzortake (idealizirane) opne je različen od nič samo pri r = r 0 in je torej sorazmeren zδ(r −r 0 ). Komponenta T 00 njegovega napetostnega tenzorja je sorazmerna ploščinskigostoti mase (σ), krajevne od od nič različne komponente pa morajo biti izotropnev tangentni ravnini opne. Napetostni tenzor opne se mora tako zapisati v obliki:T00 balon = σc 2 δ(r − r 0 ) (G.1.14)T0i balon = 0 (G.1.15)T balonij= − 1 2 r 0pδ(r − r 0 ) ( δ ij − x ix jr 2 )(G.1.16)Naloga G.1.4: Izračunaj divergenco (Tµν plin + Tµν balon ), ν in se prepričaj, da je respovsod enaka nič. (Upoštevaj, da je ∂Θ(r−r 0)= δ(r −r∂x i0 ) x iin r xi Tijbalon = 0 za vsakr!)Gravitacijsko polje, ki ga ustvarjata obe masi (plin in balon) reši enačbe (F.17), čeje ustreženo umeritvenemu pogoju (F.16). Enačbe (F.17) rešujemo po (kartezičnih)47

CAD-CAM Teorija, praksa i upravljanje proizvodnjom.pdf
Elementarna matematika - Teorija i zadaci - PMF
Mikrovalno zračenje, mikrovalna teorija, mikrovalna organska ... - PBF
Slovenščina za vsak dan 9 (posodobljena izdaja 2011) - priročnik za ...
Revija Odvetnik, št. 60 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Naša sredina, številka 3, leto 2
Številka 56 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Letno poročilo Varuha človekovih pravic za leto 2007 (PDF)
1. PDF dokument (3766 kB) - dLib.si
Letnik XIII/15 - Ministrstvo za obrambo
Predstavljamo Å¡olsko padalski oddelek SV - Ministrstvo za obrambo
Uveljavitev načela kratkih verig v sistemu javnega naročanja TLP ...
BF-6-2009 - Frančiškani v Sloveniji
Prodaja medu na domu Poziv za zbiranje kandidatur za člane ...
Darko Štrajn, Umetnost v realnosti ... - Pedagoški inštitut
Metoda podpornih vektorjev
Mitska stvarnost koroških knežjih kamnov - Inštitut za arheologijo
no repliques ideas pensa por vos mismo - AirBeletrina
Številka 20 - Odvetniška Zbornica Slovenije
Devetošolski - Osnovna šola Franceta Prešerna Kranj
BREZPLAČEN OTROŠKI MESEČNIK - Shrani.si
24. maj 1962 (št. 635) - Dolenjski list
Številka 19 - Odvetniška Zbornica Slovenije