TEORIJA GRAVITACIJE

Za konec stehtajmo idealni plin, s katerim smo napihnili balon. Tehtanje izvedemotako, kot je v navadi med astronomi; v krožno orbito okrog balona (ki je seveda nekjedaleč v vesolju proč od velikih mas) vtirimo testni delec (delec katerega masa jemnogo manjša od mase plina). Merimo polmer krožne orbite (a) in obhodni čas (T)ter izračunamo maso plina v balonu (skupaj z maso balona) po tretjem Keplerjevema 3T 2 .zakonu: M = 4π2GKomponente napetostnega tenzorja za plin v mirujočem balonu zapišemo po(G.1.4) v obliki: ⎛⎞w polna , 0, 0, 0T plin = ⎜ 0, p, 0, 0⎟⎝ 0, 0, p, 0⎠ Θ(r 0 − r) (G.1.13)0, 0, 0, pPri tem sta: Θ(x) je Heavisideova funkcija z lastnostjo Θ(x) = 1 če x > 0 in Θ(x) = 0če x < 0, r 0 pa je polmer balona.Zapisati moramo še komponente napetostnega tenzorja za balonsko opno, sajbrez nje plin nebi miroval znotraj krogle s polmerom r 0 , ampak bi se razbežal na vsestrani. Enačba gibanja (F.31) zahteva, da ima napetostni tenzor vsega - v našemprimeru sta to opna in plin - divergenco enako nič. To je mogoče doseči na mnogonačinov. Najpreprosteje je, če vzamemo, da je balonska opna neskončno tanka injo obravnavamo tako, kot pogosto obravnavamo milnično opno. Napetostni tenzortake (idealizirane) opne je različen od nič samo pri r = r 0 in je torej sorazmeren zδ(r −r 0 ). Komponenta T 00 njegovega napetostnega tenzorja je sorazmerna ploščinskigostoti mase (σ), krajevne od od nič različne komponente pa morajo biti izotropnev tangentni ravnini opne. Napetostni tenzor opne se mora tako zapisati v obliki:T00 balon = σc 2 δ(r − r 0 ) (G.1.14)T0i balon = 0 (G.1.15)T balonij= − 1 2 r 0pδ(r − r 0 ) ( δ ij − x ix jr 2 )(G.1.16)Naloga G.1.4: Izračunaj divergenco (Tµν plin + Tµν balon ), ν in se prepričaj, da je respovsod enaka nič. (Upoštevaj, da je ∂Θ(r−r 0)= δ(r −r∂x i0 ) x iin r xi Tijbalon = 0 za vsakr!)Gravitacijsko polje, ki ga ustvarjata obe masi (plin in balon) reši enačbe (F.17), čeje ustreženo umeritvenemu pogoju (F.16). Enačbe (F.17) rešujemo po (kartezičnih)47