Eine Suche nach Doppelbeta-Zerfaellen von Cadmium-, Zink- und ...

B. Theoretische Grundlagen des Doppelbeta-Zerfalls
Der Q-Wert bezeichnet die Zerfallsenergie, die für Q > 0 den emittierten Teilchen als
kinetische Energie zur Verfügung steht. Beim Elektroneneinfang ergibt sich der Q-Wert
aus der Differenz der Massen von Mutter- und Tochternuklid unter Berücksichtigung der
Massen der beteiltigten Elektronen:
QEC = (m(Z, A0) − Zme)c 2 + mec 2 − (m(Z − 1, A0) − (Z − 1)me)c 2
(B.12)
= (m(Z, A0) − m(Z − 1, A0))c 2 . (B.13)
Im EC-Mode ergibt sich Q aus der Massendifferenz von Mutter- und Tochteratom,
das durch die Einfangreaktion ionisiert wird. Als Folge dessen tritt charakteristische
Röntgenstrahlung aus der Abregung der Hülle auf. Für den Q-Wert des β + -Zerfalls gilt:
Qβ + = (m(Z, A0) − Zme)c 2 − (m(Z − 1, A0) − (Z − 1)me + me)c 2
(B.14)
= (m(Z, A0) − m(Z − 1, A0) − 2me)c 2 . (B.15)
Der β + -Zerfall ist energetisch nur möglich, wenn die Massendifferenz von Mutter- und
Tochteratom wenigstens 2mec 2 beträgt. Der Elektroneneinfang ist gegenüber dem β + -
Zerfall energetisch begünstigt:
Qβ + = QEC − 2mec 2 . (B.16)
B.3. Halbwertszeiten von 0νββ-Zerfällen
Die mathematische Beschreibung des Doppelbeta-Zerfalls erfolgt mit Hilfe der Störungstheorie.
Ausgehend von einer quantenfeldtheoretischen Hamiltondichte [40] ergibt sich
die Übergangsrate nach Fermis Goldener Regel. Die inverse Halbwertszeit eines Zerfalls
zwischen den paritären Zuständen J P errechnet sich, für Übergänge 0 + → 0 + mit
Beiträgen proportional zum Quadrat der Neutrinomasse, aus:
(T 0ν
1/2(0 + → 0 + )) −1 = G 0ν (Q, Z) 0ν
MGT − M 0ν
F
2
〈mνe〉
Darin bezeichnen G 0ν (Q, Z) das Phasenraumintegral der Elektronen, M 0ν
GT
me
2
. (B.17)
und M 0ν
F die
Kernmatrixelemente eines Gamow-Teller- bzw. Fermi-Übergangs und 〈mνe〉 die effektive
Majorana-Masse des Elektron-Neutrinos.
〈mνe〉 =
i
miU 2 ei
= |U 2 ei|e iαi
mi
(B.18)
Weil Neutrinos eine Masse besitzen, brauchen die Masseneigenzustände mi nicht identisch
mit denen der Wechselwirkung zu sein. Ein Neutrinozustand kann äquivalent in
B5
i