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Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

Das dynamische Paradigma in der Linguistik - Universität Bremen

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________22 Strukturen (modulo eines Diffeomorphismus), d.h. es sind alle stetigen Transformationen erlaubt, welche die Konstellation der Extrema unverändert lassen. Es folgt daraus, dass solche Modelle nur noch sehr bedingt für eine quantitativ arbeitende Disziplin in Frage kommen und gerade deshalb für den Anwendungsbereich der Grammatik, die traditionell eher kategorisch-qualitativ als quantitativ - statistisch aufgebaut wird, prädestiniert sind. (c) In einem letzten Abstraktionsschritt kann man sich ausschließlich für die stabilen und instabilen Gleichgewichte in Gradientensystemen interessieren (die Nullstellen des Gradienten) und deren lokale Umgebungen betrachten (z.B. nach der Destabilisierung). Die Hierarchie 0 bis 5 ist in der Architektur der Theorie dynamischer Systeme angelegt, und es handelt sich deshalb um eine echte und systematische Vereinfachung, die von willkürlichem Absehen, Ausgrenzen streng zu unterscheiden ist. Unsere Strategie besteht darin, von unten (also von 5) ausgehend, sukzessiv allgemeinere dynamische Systeme in ihren Grundzügen vorzustellen. Dabei bleiben wir im Rahmen der autonomen dynamischen Systeme. Die Abschnitte 2.2-2.4 stellen deterministische dynamische Systeme vor; in den Abschnitten 2.5-2.7 wird die Betrachtung auf stochastische dynamische Systeme erweitert und Abschnitt 2.8 betrachtet den Sonderfall diskreter dynamischer Systeme. 2.2 Grundideen und Grundbegriffe der qualitativen Dynamik: am Beispiel der Katastrophentheorie Wir wollen zuerst relativ intuitiv einige grundlegende Ideen einführen. Was qualitative Dynamik bedeutet, lässt sich recht gut an den "Entfaltungen" eines Tuches demonstrieren. Nehmen wir ein Stück Tuch, das beliebig, d.h. etwas unordentlich und nicht glatt gebügelt auf dem Tisch liegt. Die Fläche des Tuches (eine Fläche im dreidimensionalen Raum: R 3) wird meistens Falten enthalten. In Abb. 2.2 sehen wir ein solches Stück Tuch mit drei Falten. Abb.2.2: Verschiedene Typen von Falten in einem Tuch. Für kurze Einführungen in die Katastrophentheorie speziell für Linguisten siehe die Anhänge von Wildgen (1985a; deutsch), (1999b; französisch) und Wildgen und Plath (2005).

ynam.Paradigma ____ Dynamische Modellkonzepte____________________23 Wenn wir die äußere Begrenzung des Tuches vernachlässigen (wir betrachten einen willkürlichen Ausschnitt aus einem größeren Tuch), sehen wir als prägnante Strukturen die Falten. Intuitiv können wir drei Eigenschaften festhalten: - Es gibt glatte Flächen auf dem Tuch. Die Punkte auf der glatten Fläche sind dadurch charakterisierbar, dass alle Punkte in ihrer (beliebig kleinen) Umgebung auch auf einer glatten Fläche liegen. Punkt a liegt auf einer glatten Fläche, wir nennen ihn regulär. - Es gibt Falten. Die meisten oder die "normalen" Punkte auf der Falte sind auf der Falte verschiebbar, ohne dass sie ihre Eigenschaft qualitativ verändern; allerdings liegen diese Punkte genau am Rande einer oberen und einer unteren Fläche, d.h. verschiebt man sie seitlich (auf Abb. 2.2) so wechseln sie die Zugehörigkeit zu den Teilflächen. Die Punkte b, b' und b" und unendlich viele benachbarte Punkte auf den Falten sind von diesem Typ. - An den Falten, welche die Flächen A-B, B-C, C-D, D-F, F-E trennen, gibt es besondere Punkte, die bei jeder Verschiebung ihren Charakter verändern, sie liegen am Übergang von der Falte zur glatten Fläche. Diese Punkte sind singulär. Wenn wir nun am unteren Ende des Tuches so lange ziehen, bis die beiden Falten, auf denen b' und b" liegen, zusammenstoßen, und damit zwei Falten in einem singulären Punkt vereint werden, erhalten wir einen Punkt, der noch "labiler" ist als die Punkte c und d in Abb. 2.2 Abb. 2.3 zeigt diese Konstellation. Abb. 2.3: Die Kuspen-Falte (d) als Zusammentreffen zweier Falten. Intuitiv können wir sagen, Punkt a ist bezüglich einer Veränderung, Deformation des Tuches resistent; er verändert seinen Charakter, seinen Typus, seine Struktur nicht. Wir sprechen später in einem speziellen Kontext von struktureller Stabilität. Die anderen Punkte sind in unterschiedlichem Maße stabil oder instabil; je nach Typ der Instabilität kann vorausgesagt werden, in welche Richtung die Veränderung bei beliebiger (kleiner) Deformation erfolgt. So wird der instabile Punkt d' entlang der Falte sehr schnell zum zweifach instabilen Punkt d, Punkt. c zu. b , und die Punkte b, b', b" können bei Verschiebung der Falte sehr leicht zu regulären Punkten werden. Eine Typologie der Veränderung hat somit an der Charakterisierung der Instabilität und ihres Grades anzusetzen. Nimmt man nun beliebige Flächen in R 3 oder gar beliebige n-dimensionale Gebilde in R n+1 , so kann man ihre Gestalt oder Morphologie charakterisieren indem man: (a) Die Liste ihrer Instabilitäten aufstellt,

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