Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 8
1.2. Wahrscheinlichkeitsdichte
Betrachtet man den Abstand zweier hintereinander fahrender Autos, ist eine entsprechende
Zuordnung (z.B. ”
Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand genau 3,415m ist“) nicht
sinnvoll. Man kann allerdings Intervallen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, z.B. dass der
Abstand zwischen 1m und 2m ist oder zwischen 2m und 3m u.s.w.. So erhält man beispielsweise
folgende Histogramme:
Meter-Raster
halb-Meter-Raster
20cm-Raster
200
100
100
50
30
10
1 2 3 4 5 6
1
2 1 2 3 4 5 6
Definition 1.3
Eine Funktion f : R → R ≥0 mit
f(x)dx = 1 beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsdichte
auf Ω = R.
∞∫
−∞
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ⊆ R ergibt sich durch
∫
P(A) = f(x)dx.
Bemerkungen:
A
1. f heißt auch Verteilungsdichtefunktion.
2. Bei einem Zufallsexperiment mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte f ist die Wahrscheinlichkeit
für ein einzelnes Ergebnis gleich 0:
P({x 0 }) =
∫ x 0
x 0
f(x)dx = 0.
DaheristesbeiIntervallenirrelevant,obdieGrenzeneingeschlossensindodernicht:
P ( [c,d] ) = P ( ]c,d] ) = P ( ]c,d[ ) .
3. Bei einer stetigen Dichtefunktion f und kleinem ∆x ist
P([x 0 ,x 0 +∆x]) =
∫
x 0 +∆x
x 0
f(x)dx ≈
x 0 ∫+∆x
x 0
f(x 0 )dx = ∆x·f(x 0 ).