Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 43
3.3.2. Konfidenzbereiche für Erwartungswerte bei Normalverteilungen
Sei X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ.
Stichproben x 1 ,...,x n kann man durch n unabhängige Kopien X 1 ,...,X n von X modellieren.
Betrachtet wird nun wie beim zentralen Grenzwertsatz (Satz 2.9) die Zufallsvariable
∑ n
Xn ∗ k=1
=
X k −nµ
√ . nσ
Mit
X n = 1 n
n∑
k=1
X k
erhält man eine alternative Darstellung
n·(1 ∑ n
Xn ∗ n k=1
= X k −µ )
√ = √ n· Xn −µ
.
nσ σ
AlsverschobeneundskalierteSummevonNormalverteilungenistX ∗ n normalverteilt;entsprechend
der Normierung (vgl. die Ausführungen vor Satz 2.9) hat X ∗ n Erwartungswert
0 und Varianz 1, d.h., X ∗ n ist standardnormalverteilt.
Ist das Konfidenzniveau 1 − α vorgegeben, so erhält man mit dem (1 − α 2 )-Quantil
c = x 1−
α
Es ist
2
P(−c ≤ X ∗ n ≤ c) = 1−α.
−c ≤ X ∗ n ≤ c
α
2
−x 1−
α
2
x 1−
α
2
α
2
⇔ −c ≤ √ n· Xn −µ
σ
⇔ − σ √ n ·c ≤ X n −µ ≤
≤
c
σ
√ n ·c
⇔ −X n − σ √ n ·c ≤ −µ ≤ −X + σ √ n ·c
⇔ X n + σ √ n ·c ≥ µ ≥ X − σ √ n ·c
⇔ µ ∈
[
X n − √ σ ·c; X n + σ ]
√ ·c . n n
Also gilt für jedes µ:
[
P µ
(µ ∈ X n − √ σ ·c; X n + σ ])
√ ·c n n
= 1−α.