Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 14
1.4. Verteilungsfunktion
Definition 1.6
Zu einer Zufallsvariable X heißt F : R → R ≥0 , F(x) = P(X ≤ x) Verteilungsfunktion.
Bemerkung:
Ist X eine stetige Zufallsvariable
mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f, so ist
F(x) =
∫ x
f(t)dt.
F(x)
x
Beispiel 1:
−∞
1. Ist X gleichverteilt auf {1,2,3,4,5,6}, so
ist die Verteilungsfunktion die nebenstehende
Sprungfunktion.
1
1 2 3 4 5 6
2. Ist X exponentialverteilt mit Parameter λ, so ist F(x) = 0 für x < 0 und für x ≥ 0
gilt
F(x) =
∫ x
0
λe −λt dt = −e −λt ∣ ∣∣
x
1
0 = −e−λx −(−e −λ·0 ) = 1− e −λx .
1 2 3 4
Bemerkung:
Das Ereignis X ∈ ]a,b] kann man zerlegen in
(X ≤ b) und (nicht X ≤ a).
F(b)
Entsprechend ist
P(X ∈]a,b]) = P(X ≤ b und nicht X ≤ a)
= P(X ≤ b)−P(X ≤ a)
= F(b)−F(a).
Bei stetigen Zufallsvariablen ist P(X = a) = 0, so dass auch
P(X ∈ [a,b]) = F(b)−F(a)
gilt.
a
F(a)
a
P(]a,b])
a
b
b
b