Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 40
Definition 3.4
Ein Schätzer, der den Parmeterwert ergibt, unter dem die Beobachtung die größte
Wahrscheinlichkeit hat (bei stetigen Zufallsvariablen, die größte Wahrscheinlichkeitsdichte),
heißt Maximum-Likelihood Schätzer.
Bemerkungen:
1. Bei mehreren unabhängigen Beobachtungen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit der
Gesamtbeobachtungen als Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Bei stetigen Zufallsvariablen nimmt man statt der Wahrscheinlichkeit den Dichtewert
bzw. bei mehreren Beobachtungen das Produkt der Dichtewerte.
2. Die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit(sdichte) einer Beobachtung in Abhängigkeit
des Parameters angibt, heißt Likelihood-Funktion.
Beispiel 5:
1. (Fortsetzung von Beispiel 3.1)
Beim Taxiproblem mit einer Gesamtzahl N ist die Wahrscheinlichkeit einer Beobachtung
von x 1 ,...,x n gleich Null, falls das Maximum der x k größer als N ist,
ansonsten gleich ( 1 n
N)
(bei mit Zurücklegen), da alle Beobachtungen gleiche Wahrscheinlichkeit
besitzen.
Die Likelihood-Funktion f(N) zu einer Beobachtung x 1 ,...,x n ist also
{
0, falls max{x 1 ,...,x n } > N,
f(N) = ( 1
) n,
N sonst.
Diese Funktion wird maximal, wenn N minimal im zweiten Fall ist, also für N =
max{x 1 ,...,x n }. Damit wird allerdings die Gesamtzahl offensichtlich unterschätzt.
2. Bei normalverteiltem X wurde x 1 ,...,x n beobachtet. Bei Parametern µ und σ 2
ergeben sich als einzelne Dichtewerte
f i = 1 √
2πσ
e −(x i −µ)2
2σ 2 .
Die Likelihood-Funktion ist das Produkt
f(µ,σ) =
=
n∏
f i =
i=1
n∏
i=1
1
√ e −(x i −µ)2
2σ 2
2πσ
( 1
√
2πσ
) n
· e − 1
2σ 2·∑n
i=1 (x i−µ) 2 .