Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 27
Dann ist
E(X) = 1·0.2+2·0.5+4·0.3 = 2.4,
V(X) = (1−2.4) 2 ·0.2+(2−2.4) 2 ·0.5+(4−2.4) 2 ·0.3 = 1.24.
Die Standardabweichung ist dann √ V(X) = √ 1.24 ≈ 1.11.
2. Zu einer Bernoulli-Zufallsvariable X mit den Werten 1, 0 und P(X = 1) = p, also
P(X = 0) = 1−p, ist
E(X) = 1·p+0·(1−p) = p,
V(X) = (1−p) 2 ·p+(0−p) 2 ·(1−p) = (1−p)·p·((1−p)+p )
= (1−p)·p.
3. Ist X gleichverteilt auf [a,b], so ist
E(X) =
∫ b
a
1
x·
b−a dx = 1
b−a · 1 ∣ ∣∣
b
2 x2 = 1 a 2 · b2 −a 2
b−a
= 1 2 (a+b).
4. Ist X (µ,σ 2 )-normalverteilt, so ist E(X) = µ und V(X) = σ 2 .
5. In Anhang E sind Erwartungswerte und Varianzen der verschiedenen Verteilungen
aufgeführt.
Satz 2.6
Für Zufallsvariablen X, Y und a,b ∈ R gilt:
Bemerkung:
1. V(X) = E ( (X −E(X)) 2) = E(X 2 )−(E(X)) 2 .
2. E(aX +b) = a·E(X)+b, V(aX +b) = a 2 ·V(X).
3. E(X +Y) = E(X)+E(Y).
4. Sind X und Y unabhängig, so gilt
4.1 V(X +Y) = V(X)+V(Y),
4.2 E(X ·Y) = E(X)·E(Y).
Der Erwartungswert gibt den Schwerpunkt an von
• Gewichten p(x k ), die an den Stellen x k positioniert sind (bei einer diskreten
Zufallsvariablen),
• der Wahrscheinlichkeitsdichte (bei einer stetigen Zufallsvariablen).