Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 45
f(x) = c m ·(1+ x2 ) −
m+1
2
m
mit einer Normierungskonstanten c m . Für m → ∞ konvergiert sie gegen die Standardnormalverteilung.
Zur Bestimmung der Grenzen eines Konfidenzbereichs nutzt man nun die Quantile t m,p
zur t-Verteilung (s. Anhang C). Mit
P(−t n−1,1−
α
2 ≤ ̂X n ≤ t n−1,1−
α
2 ) = 1−α
und entsprechender Umformung wie oben erhält man als Konfidenzbereich
[
X n − S n
√ ·c; X n + S ]
n
√ ·c , c = t n n n−1,1−
α .
2
Satz 3.7
Ist X normalverteilt mit unbekannter Standardabweichung, so erhält man für den
Erwartungswert µ einen Konifidenzbereich zum Konfidenzniveau 1 − α zu n Beobachtungen
x 1 ,...,x n durch
[
x n − s n
√ ·c; x n + s ]
n
√ ·c n n
mit x n = 1 n
√
n∑
x k , s n =
k=1
1
n−1
n∑
(x k −x n ) 2 und c = t n−1,1−
α , dem 1−α 2 2 -Quantil
k=1
der t-Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden.
Beispiel 2:
Ist die Standardabweichung s = 1 aus Beispiel 1 nur geschätzt, ergibt sich mit
t n−1,1−
α
2 = t 9,0.95 = 1.833 als Konfidenzbereich
[
12−
1
√
10 ·1.833; 12+ 1 √
10 ·1.833 ] = [11.42; 12.58],
ein wegen der Unsicherheit der Schätzung der Standardabweichung größerer Bereich
als bei Beispiel 1.
Bemerkung:
Man kann auch an nur einseitigen Konfidenzbereichen interessiert sein, z.B. ”
der
Erwartungswert µ ist mindestens 15“. Ähnlich wie oben kann man dann einseitige
Begrenzungen analysieren oder einseitige Betrachtungen
nutzen.
P(X ∗ n ≤ x 1−α ) = 1−α bzw. P(−x 1−α ≤ X ∗ n) = 1−α