Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 29
2.3. Korrelation
Definition 2.7
Zu zwei Zufallsvariablen X und Y heißt
C(X,Y) = E((X −E(X))·(Y −E(Y)))
Kovarianz und
ρ X,Y =
C(X,Y)
√
V(X)·V(Y)
Korrelationskoeffizient.
Die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient beschreiben, wie eng zwei Zufallsvariablen
zusammenhängen.
Sind X und Y unabhängig, so gilt wegen E(X −E(X)) = E(X)−E(X) = 0, dass
C(X,Y) = E((X −E(X))·(Y −E(Y))) = E(X −E(X))·E(Y −E(Y)) = 0
ist. Hängen X und Y derart voneinander ab, dass X tendenziell in die gleiche Richtung
von E(X) abweicht, wie Y von E(Y), so wird C(X,Y) positiv sein. Im Extremfall, dass
X und Y immer dieselben Werte liefern, also X = Y, ist
C(X,Y) = E((X −E(X)) 2 ) = V(X).
Satz 2.8
Es gilt
Beispiel 1:
C(X,Y) 2 ≤ V(X)·V(Y) und ρ X,Y ∈ [−1,1].
Sei X standardnormalverteilt und Y = a·X+b·Z, wobei Z eine von X unabhängige
Standardnormalverteilung ist.
Dann ist E(X) = 0 = E(Y) und
C(X,Y) = E(X ·(a·X +b·Z))
= E(a·X 2 +b·X ·Z)
= a·E(X 2 )+b·E(X ·Z)
= a·V(X)+b·E(X)·E(Z)
= a·1+b·0·0 = a