Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

5. Warteschlangen 66
5.2. Die Poisson-Verteilung
Situation:
Bei einem Ankunftsprozess beobachtet man im Durchschnitt eine Ankunft in der
Zeit T 0 . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
P(T,k) = W(in [0,T] gibt es genau k Ankünfte)?
Definition 5.1
Die diskrete Zufallsvariable X mit
P(X = k) = γk
k! e−γ (k = 0,1,2,...)
heißt Poisson-verteilt mit Parameter γ > 0.
Es ist E(X) = γ und V(X) = γ.
0.5
γ = 0.5
0.2
γ = 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Satz 5.2
Bei einem exponentialverteilten Ankunftsprozess mit der Ankunftsrate α = 1 T 0
(im Durchschnitt eine Ankunft in T 0 ) ist die Anzahl der Ankünfte in der Zeit T
Poisson-verteilt mit Parameter γ = αT = T T 0
.
Bemerkungen:
1. Die Wahrscheinlichkeiten einer Poisson-Verteilung addieren sich tatsächlich zu 1:
∞∑
k=0
γ k
k! e−γ = e γ · e −γ = 1.
2. Statt von einem Ankunftsprozess mit exponentialverteilten Zwischenankunftszeiten
zu sprechen, spricht man auch von einem Poisson-verteilten Ankunftsprozess.
Entsprechendes gilt für den Bedienprozess.
3. Die Poisson-Verteilung approximiert die Binomialverteilung für γ = n·p bei großem
n und kleinem p (die Approximation ist gut für n > 50 und p < 0.1):
Die ”
Erfolgsrate“ ist p (durchschnittliche Anzahl Erfolge pro Versuch), und die
Anzahl der Versuche n spielt die Rolle von T.
5.2. Die Poisson-Verteilung