Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 17
1.5. Erzeugung von Zufallszahlen
Häufig stellen Programmiersprachen nur einen Zufallszahlengenerator zur Verfügung,
der in [0,1] gleichverteilte Zahlen erzeugt. Wie kann man daraus einen Generator für
andere Verteilungen erzeugen?
Sei im folgenden U eine Zufallsvariable, die auf [0,1] gleichverteilt ist.
Beispiel 1:
Eine diskrete Zufallsvariable X soll simuliert werden, die
mit Wahrscheinlichkeit 1 4
mit Wahrscheinlichkeit 1 2
mit Wahrscheinlichkeit 1 4
den Wert 1
den Wert 3
den Wert 4
annimmt. Offensichtlich gelingt dies mit g(U) durch
⎧
⎪⎨ 1, falls x ≤ 1 4 ,
g(x) = 3, falls
⎪⎩
1 4 < x ≤ 3 4 ,
4, falls x > 3 4 .
Der Graf von g entspricht der Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion F zu X.
4
g
1
F
3
2
1
1 2 3 4
1
4
3
4
1
Satz 1.10
Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. Ist U gleichverteilt auf [0,1]
und g die Umkehrfunktion zu F, so besitzt g(U) die gleiche Verteilung wie X.
Bemerkung:
Im strengen Sinn besitzt die Verteilungsfunktion F von X aus Beispiel 1 keine
Umkehrfunktion. Es ist dann
g(u) = min{x|F(x) ≥ u}
zu nehmen, was genau der Quantil-Funktion entspricht.