Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 32
3. Mit dem arithmetischen Mittel X n = 1 n
X ∗ n =
∑ n
k=1 X k −nµ
√ nσ
= n·
n∑
X k ist
k=1
1
n
∑ n
k=1 X k −µ
√ = √ n· Xn −µ
.
nσ σ
Anwendungsbeispiel:
Die Wahrscheinlichkeit für die Produktion einer fehlerhaften LED sei p. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, bei n LEDs höchstens k defekte zu haben?
Modellierung als Bernoulli-Experiment:
Jeder LED entspricht eine Zufallsvariable X k mit Wert 1, falls sie defekt ist (Wahrscheinlichkeit
p) und Wert 0, wenn sie in Ordnung ist. Die Anzahl defekter LEDs
∑
unter n Stück ist Z n = n X k . Gesucht ist P(Z n ≤ k). Nach Satz 2.9 gilt für große
n:
P
( )
Zn −nµ
√ ≤ x nσ
k=1
≈ Φ(x)
Dabei ist µ = E(X k ) = p und σ 2 = V(X k ) = (1−p)·p, also σ = √ (1−p)·p.
Es gilt
Z n ≤ k ⇔ Z n −nµ
√ nσ
≤ k −nµ √ nσ
,
also
( ) k −nµ
P(Z n ≤ k) ≈ Φ √ . nσ
Beispiel 1:
p = 1% = 0.01, n = 1000, k = 15:
( ) 15−1000·0.01
P(Z 1000 ≤ 15) ≈ Φ √
1000·√
0.99·0.01
= Φ(1.59) = 0.9441.
Eine bessere Approximation erhält man, wenn die Werte 0,1,2,...,k von Z n in der
stetigen Version durch die Intervalle
[−0.5;0.5]∪[0.5;1.5]∪···∪[k −0.5;k +0.5] = [−0.5;k +0.5]
ersetzt werden, also
(
)
[−0.5;k +0.5]−nµ
P(0 ≤ Z n ≤ k) ≈ P Standardnormalverteilung in √ nσ
(
[ −0.5−nµ
= P Standardnormalverteilung in √ ; k +0.5−nµ ])
√ nσ nσ
( ( )
k +0.5−nµ −0.5−nµ
= Φ √
)−Φ √ .
nσ nσ