Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 52
Wahrscheinlichkeit
≤ 0.05
Wahrscheinlichkeit
≤ 0.05
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Die konkreten Werte für die kumulierten Wahrscheinlichkeiten sind (unter der Hypothese
p = 0.4)
P(0 Erfolge) ≈ 0.0005, P(15 Erfolge) ≈ 1.1·10 −6 ,
P(≤ 1 Erfolg) ≈ 0.0052, P(≥ 14 Erfolge) ≈ 2.5·10 −5 ,
P(≤ 2 Erfolg) ≈ 0.0271, P(≥ 13 Erfolge) ≈ 2.8·10 −4 ,
P(≤ 3 Erfolg) ≈ 0.0905, P(≥ 12 Erfolge) ≈ 0.0019,
P(≤ 4 Erfolg) ≈ 0.217, P(≥ 11 Erfolge) ≈ 0.0093,
P(≤ 5 Erfolg) ≈ 0.403, P(≥ 10 Erfolge) ≈ 0.0338,
P(≤ 6 Erfolg) ≈ 0.609, P(≥ 9 Erfolge) ≈ 0.095.
Damit erhält man den Akzeptanzbereich [3;9].
Bei großem Stichprobenumfang kann man auch die Näherung mittels der Normalverteilung
(s. Satz 2.10) zur Bestimmung der Akzeptanzgrenzen nutzen:
Für die Anzahl Z n der Erfolge bei n-maliger Durchführung gilt
( )
( )
b+0.5−np
a−0.5−np
P(Z n ≤ b) ≈ Φ √ und P(Z n ≥ a) ≈ 1−Φ √ .
np(1−p) np(1−p)
Mit Hilfeder Quantile zur Standardnormalverteilung kann man damit Grenzen eines Akzeptanzbereichs
bestimmen und erhält als beidseitigen Akzeptanzbereich für die Anzahl
der Erfolge Z n :
Z n ∈ [k 1 ;k 2 ] mit k 1,2 = np± ( √
np(1−p)·x1− α
2 +0.5) .
Beispiel 5:
100 Würfe mit einer Münze ergeben 58 mal Zahl und nur 42 mal Kopf. Ist die
Münze unfair, also p ≠ 0.5 bei einer entsprechenden Bernoulli-Modellierung (Kopf
∧
= 0, Zahl = ∧ 1)?
Die zu testende Hypothese ist p = 0.5. Zum Signifikanzniveau 0.95, also α = 0.05,
ist x 1−
α = 1.96. Damit wird der Akzeptanzbereich begrenzt durch
2
100·0.5± ( √
100·0.5(1−0.5)·1.96+0.5
)
= 50±10.3.
Damit liegt das Ergebnis noch im Rahmen.