Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 39
Man kann zeigen, dass, falls ohne Zurücklegen gezogen wird, der Schätzer
T(x 1 ,...,x n ) = n+1
n ·max{x 1,...,x n }−1
ein erwartungstreuer Schätzer für N ist.
Bei den drei Beobachtungen 37, 78, 56 erhält man damit als Schätzwert
T(37,78,56) = 4 ·78−1 = 103.
3
2. Ist X exponentialverteilt mit Parameter λ, so ist
E(X) = 1 λ ⇔ λ = 1
E(X) .
Es ist daher plausibel,
1
T mit T(x 1,...,x n ) = 1 n ·
n∑
x k als Schätzer für λ zu
k=1
benutzen. Dieser Schätzer ist allerdings nicht erwartungstreu!
Das folgende Beispiel soll eine Möglichkeit verdeutlichen, einen Schätzer zu konstruieren:
Beispiel 4:
Bei den n-fachen Durchführung eines Bernoulli-Experiments mit unbekanntem p
wurden k Erfolge verzeichnet. Nach der Binomialverteilung ist
( n
P(k Erfolge bei n Durchführungen) = ·p
k)
k (1−p) n−k . (∗)
Man kann als Schätzwert das p nehmen, bei dem dieser Ausdruck maximal ist, die
Beobachtung also maximale Wahrscheinlichkeit (engl: ”
Maximum Likelihood“) hat.
Statt (∗) zu maximieren, bietet es sich an,
f(p) = ln ( p k ·(1−p) n−k)
= k ·lnp+(n−k)ln(1−p)
zu maximieren:
f ′ (p) = k · 1
p +(n−k)· −1
1−p
⇔ k p = n−k
1−p
⇔ (1−p)·k = (n−k)·p
!
= 0
⇔ p = k n .
Dies ist tatsächlich die Maximalstelle.