Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 5
Als Summe von Ereignissen ergibt sich nun beispielsweise
P(zweite Kugel rot)
= P(erste Kugel blau, zweite rot oder erste und zweite Kugel rot)
= P(erste Kugel blau, zweite rot) + P(erste und zweite Kugel rot)
=
=
= 5 20 = 1 4 .
3
4 · 1
5
3
20
Als Komplementärereignis ist dann
+
+
1
4 · 2
5
2
20
P(zweite Kugel blau) = 1−P(zweite Kugel rot) = 1− 1 4 = 3 4 .
Beispiel 6:
Bei einer Glühbirnen-Produktion sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne
defekt ist, p D = 1 15
. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Birnen genau eine
defekte zu haben?
Modellierung als 10-faches Bernoulli-Experiment mit
P( ”
Birne defekt“) = p D ,
P( ”
Birne intakt“) = 1−p D .
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ”
dritte Birne defekt, Rest intakt“ ist:
Birne
Wahrscheinlichkeit =
1
(1−p D ) ·
= p D ·(1−p D ) 9 .
2
(1−p D ) ·
3
p D ·
4
(1−p D ) ·...·
10
(1−p D )
Genauso erhält man für das Ereignis ”
sechste Birne defekt, Rest intakt“ die Wahrscheinlichkeit
p D ·(1−p D ) 9 .
DasEreignis ”
genaueinevon10Birnendefekt“ ergibtsichalsSummederdisjunkten
Ereignisse ”
k-te Birne defekt, Rest intakt“, also
P( ”
genau eine von 10 Birnen defekt“)
=
=
10∑
k=1
10∑
k=1
P( ”
k-te Birne defekt, Rest intakt“)
p D ·(1−p D ) 9
= 10·p D ·(1−p D ) 9 = 10·
1
15
( ) 14 9
≈ 0.36.
15