Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 56
DamithatmaneinKonfidenzintervallzumNiveau1−αfürdietatsächlicheVarianz.
2. Die χ 2 -Verteilung dient als Grundlager vieler Hypothesentests (χ 2 -Tests).
Eine Anwendung ist beispielsweise der Test, ob eine beobachtete Verteilung einer
hypothetischen Verteilung entspricht:
Situation 1: Diskrete Verteilung
Eine Zufallsvariable X kann N verschiedene Werte x 1 ,...,x N annehmen. Zu testen
ist die Hypothese P(X = x k ) = p k zu vorgegebenen p k .
Dazu werden n Realisierungen von X durchgeführt und die relativen Anteile r k des
Auftretens von x k bestimmt.
Die Testgröße
T = n·
N∑ (r k −p k ) 2
k=1
p k
ist dann (unter der Hypothese) für große n annähernd χ 2 -verteilt mit N −1 Freiheitsgraden.
Dies kann man sich wie folgt plausibilisieren:
Den relativen Anteil R k kann man als Zufallsvariable entsprechend des Mittelwerts
von n Bernoulliexperimenten mit Wert 1, falls x k auftritt, und Wert 0
sonst, ansehen. Unter der Hypothese P(X = x k ) = p k ist das also ein Bernoulliexperiment
mit Erfolgswahrscheinlichkeit p k und Varianz p k ·(1−p k ).
Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist dann
X ∗ n,k = √ n·
R k −p k
√
pk ·(1−p k )
annähernd standardnormalverteilt. Die Summe der Quadrate ist dann
N∑
(Xn,k ∗ )2 =
k=1
N∑ (R k −p k ) 2
n·
p k ·(1−p k )
k=1
= n·
N∑
k=1
(R k −p k ) 2 1
· .
p k 1−p k
Sind die einzelnen p k klein, ist
1
1−p k
≈ 1 vernachlässigbar. Da die Summe aller
R k gleich 1 ist, sind die X n,k nicht unabhängig, wodurch sich die N −1 (statt
N) Freiheitsgrade der χ 2 -Verteilung ergibt.
Bei großen Abweichungen, also großem T, sind die Beobachtungen nicht mehr konsistent
zur Hypothese, d.h. zu einem Signifikanzniveau 1 − α wird die Hypothese
abgelehnt, wenn T größer als das 1 − α-Quantil χ 1−α;N−1 der χ 2 -Verteilung mit
N −1 Freiheitsgraden ist.