Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 9
Spezielle Verteilungen:
1. Gleichverteilung auf [a,b]:
f(x) =
{
1
b−a
0 sonst.
für x ∈ [a,b],
1
b−a
a
b
∫ 5
Beispiel 1:
EinBusfährtalle15Minuten.Wennmannichtweiß,wann
er genau fährt, und irgendwann zur Haltestelle geht, ist
die Wartezeit gleichverteilt auf [0,15] (in Minuten). Die
Wahrscheinlichkeit, dass man weniger als 5 Minuten war-
1
ten muss, ist
15 dx = 1 3 .
0
2. Exponentialverteilung mit Parameter λ:
{
1
0 für x < 0,
f(x) =
λe −λx für x ≥ 0.
Die Exponentialverteilung spielt bei Warte- oder
Ausfallprozessen eine Rolle.
Beispiel 2:
1
15
λ = 1
5
15
λ = 0.5
In einem Call-Center ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Anrufen exponentialverteilt.
Bei einem frequentierten Call-Center ist λ groß, bei wenig nachgefragtem
Call-Center ist λ klein.
Beispiel 3:
Ein Zufallsexperiment sei exponentialverteilt mit λ = 1 2 .
Dann ergibt sich als Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis kleiner 1 ist:
P ( [0,1] ) =
∫ 1
0
1
∣
2 e−1 2 x dx = −e −1 2 x ∣∣
1
0
1
= − e −1 2 +1 ≈ 0.39.
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis zwischen 1 und 3 ist
P ( [1,3] ) ∫ 3
1
∣
=
2 · e−1 2 x dx = −e −1 2 x ∣∣
3
1
1
1 3
= − e −1.5 + e −0.5 ≈ 0.38.