Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 18
Beispiel 2:
Ist X exponentialverteilt mit λ = 1 so ist die Verteilungsfunktion F(x) = 1−e −x .
Für die Umkehrfunktion g(u) gilt:
u = 1− e −g(u)
⇔ e −g(u) = 1−u
⇔ g(u) = −ln(1−u).
g(u)
1 e −x Dichte f
1
1 u
Umkehrfunktion g zu F
Verteilungsfunktion F
Ist U gleichverteilt in [0,1], so ist auch 1−U gleichverteilt in [0,1]. Daher kann man
statt g(u) = −ln(1−u) auch ˜g(u) = −lnu nehmen.
Da die Verteilungsfunktion Φ zur Standardnormalverteilung keine elementare Funktion
ist, ist das Vorgehen aus Satz 1.10 für die Normalverteilung nicht praktikabel.
Satz 1.11
Sind U 1 und U 2 unabhängige, auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen, so sind
X 1 = √ −2lnU 1 ·sin(2π ·U 2 )
und X 2 = √ −2lnU 1 ·cos(2π ·U 2 )
(unabhängige) standardnormalverteilte Zufallsvariablen.
Herleitung:
Zwei unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen X 1 , X 2 besitzen die gemeinsame
Dichte
f(x 1 ,x 2 ) = √ 1 · e −x2 1 1
2 · √ e −x2 2
2 = 1 1 +x2 2
2π 2π 2π e−x2 2 = 1
2π e−r2 2
mit r = √ x 2 1 +x2 2 . Daraus folgt, dass die gemeinsame Verteilung rotationssymmetrisch
ist; sie kann also auch dargestellt werden durch einen in [0,2π[ gleichverteilten