Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 49
3.4.2. Tests für Erwartungswerte und Erfolgswahrscheinlichkeiten
1. Erwartungswerte bei Normalverteilungen mit bekannter Standardabweichung
Ziel:
Bestimmung eines Akzeptanzbereichs zum Test der Hypothese ”
Erwartungswert =
µ“ bei einer normalverteilten Zufallsvariable mit Standardabweichung σ auf Basis
von n Beobachtungen X 1 ,...,X n .
Bei (µ,σ 2 )−normalverteiltem X ist X n = 1 n
∑ n
k=1 X k normalverteilt um µ mit Standardabweichung
1 √ n
σ (s. die entsprechende Bemerkung auf Seite 44).
BeieinemSignifikanzniveau1−αerhältmandahermitdem1− α 2 -Quantilx 1− α zurStandardnormalverteilung
den Akzeptanzbereich
2
[
α
α
2
2
µ− √ σ x n 1−
α , µ+ σ ]
√ x
2 n 1−
α .
2
Beispiel 1 (Fortsetzung von Beispiel 1 des vorigen Abschnitts):
Das Nachwiegen von 10 Schokoladentafeln ergab ein Durchschnittsgewicht von x =
99.71g.
Der Hersteller habe einen normalverteilten Prozess mit Standardabweichung von
σ = 0.5g. Ist die Hypothese ”
Erwartungswert µ = 100g“ zum Signifikanzniveau
0.95, also α = 0.05, verträglich mit den 10 Beobachtungen?
Wegen
µ
x 1−
α
2
= x 1−
0.05
2
= x 0.975 ≈ 1.96
ist der Akzeptanzbereich
[
100g− √ 0.5g ·1.96, 100g+ 0.5g ]
√ ·1.96
10 10
= [99.69g, 100.31g].
Die Beobachtung liefert x = 99.71g, d.h. die Hypothese ist konform zu den Beobachtungen.
Bemerkung:
Bei wachsendem Stichprobenumfang n schrumpft die Breite des Akzeptanzbereichs
1
für x n also mit √n , da sich die Dichte von X n entsprechend um µ konzentriert.
X 20
µ
X 5
µ