Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 44
Satz 3.6
Ist X normalverteilt mit Standardabweichung σ, so erhält man für den Erwartungswert
µ einen Konifidenzbereich zum Konfidenzniveau 1 − α zu n Beobachtungen
x 1 ,...,x n durch
[
x n − √ σ ·c; x n + σ ]
√ ·c n n
mit x n = 1 n
Beispiel 1:
n∑
k=1
x k und c = x 1−
α , dem 1−α 2 2-Quantil zur Standardnormalverteilung.
Ein Merkmal ist normalverteilt mit σ = 1. Eine Stichprobe aus 10 Beobachtungen
ergibt den Mittelwert x = 12.
Zu α = 0.1 ist x 1−
α = x 0.95 = 1.64. Der Konfidenzbereich für µ ist also
2
[
12− √ 1 ·1.64; 12+ 1 ]
√ ·1.64 = [11.48; 12.52].
10 10
Bemerkung:
Das Ergebnis ist auch intuitiv verständlich: Falls X (µ,σ 2 )−normalverteilt ist, ist
X n = 1 n
∑ n
k=1 X k normalverteilt um µ mit Varianz
V(X n ) = V( 1 n
n∑
X k ) = 1 n∑
n 2 V(X k ) = 1 n 2 ·n·σ2 = 1 n σ2 ,
k=1
k=1
also Standardabweichung √ 1
n
σ. Die Dichte-Funktionen konzentrieren sich für wachsendes
n mehr und mehr um µ; damit ist auch verständlich, dass die Breite des
1
Konfidenzbereichs mit √n schrumpft.
Oft ist es nicht realistisch, dass man die Standardabweichung σ kennt. Ersetzt man σ in
der Formel von Xn ∗ durch den Schätzwert
S n = √ 1 n∑
(X k −X n )
n−1
2
k=1
so erhält man eine Zufallsvariable
̂X n = √ n· Xn −µ
S n
,
die (bei normalverteiltem X mit E(X) = µ, unabhängig von σ) t-verteilt mit n − 1
Freiheitsgraden ist. Die t-Verteilung (auch Student-Verteilung) mit m Freiheitsgraden
besitzt die Dichte