Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 24
Die Üblegungen zum Ende des vorigen Beispiels führen zu folgendem Satz:
Satz 2.3 (Formel von Bayes)
Bilden E 1 ,...,E n eine disjunkte Zerlegung von Ω, so gilt
P(E l |A) = P(E l ∩A)
P(A)
=
P(A|E l )·P(E l )
∑ n
k=1 P(A|E k)·P(E k ) .
Beispiel 5 (Fortsetzung von Beispiel 4):
Die Anwendung der Formel sieht man gut bei der Darstellung
P(Lieferant 3|Teil defekt) =
0.03·0.2
0.01·0.5+0.02·0.3+0.03·0.2 .
Definition 2.4
1. Zwei Ergebnismengen A und B, die sich gegenseitig nicht bedingen, heißen unabhängig,
d.h. es gilt eine (und damit alle) der Eigenschaften:
• P(A|B) = P(A),
• P(B|A) = P(B),
• P(A∩B) = P(A)·P(B).
2. Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig :⇔ für alle A,B ⊆ R gilt
Bemerkung:
P(X ∈ A und Y ∈ B) = P(X ∈ A)·P(Y ∈ B).
Aus P(A|B) = P(A) folgt
P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = P(A)·P(B)
(vgl. Satz 1.2 (1.)) und daraus
P(B|A) = P(A∩B)
P(A)
= P(A)·P(B)
P(A)
= P(B).
Beispiel 6:
1. (Vgl. Beispiel 2, Abschnitt 1.1). Der Wurf mit zwei Würfeln kann durch zwei unabhängige
Zufallsvariablen X und Y, die jeweils einen einzelnen Wurf darstellen,
modelliert werden. Dann ergibt sich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit des Ergebnistupels
(3,5) als
P(X = 3 und Y = 5) = P(X = 3)·P(Y = 5)
1 1
= ·
6 6
= 1 36 .